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Musterlösungen zu Grundlagen derWechselstromtechnikW. Kippels29. November 2017Inhaltsverzeichnis1 Grundgrößen der Wechselstromtechnik1.1 Übungsfragen zu Grundgrößen der Wechselstromtechnik .1.1.1 Frage 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2 Frage 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3 Frage 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.4 Frage 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.5 Frage 5: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Wechselstromwiderstände2.1 Übungsfragen zu Wechselstromwiderständen2.1.1 Frage 1: . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Frage 2: . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Frage 3: . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4 Frage 4: . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.5 Frage 5: . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.6 Frage 6: . . . . . . . . . . . . . . . .3 Schaltnetze3.1 Übungsaufgaben zu3.1.1 Aufgabe 1 .3.1.2 Aufgabe 2 .3.1.3 Aufgabe 3 .3.1.4 Aufgabe 4 .3.1.5 Aufgabe 5 .3.1.6 Aufgabe 6 .3.1.7 Aufgabe 7 .Schaltnetzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2222333.44444445.66691113151821

4 Kompensation4.1 Berechnungen der Kompensation . . . . . . . . .4.2 Lösungen der Übungsaufgaben zur Kompensation4.2.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.5 Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2525252530343740

1 Grundgrößen der WechselstromtechnikDie nachfolgenden Musterlösungen gehören zu den Aufgaben, die in diesem Lehrgangzu finden s.pdf1.1 Übungsfragen zu Grundgrößen der Wechselstromtechnik1.1.1 Frage 1:Die Netz-Wechselspannung hat eine Frequenz von f 50 Hz. Bestimmen Sie:1. die Periodendauer2. die KreisfrequenzLösung 1:T 1111s 20 msf50 Hz 50 s 1 50Lösung 2:ω 2 · π · f 2 · π · 50 Hz 314 s 11.1.2 Frage 2:Die Netz-Wechselspannung hat einen Effektivwert von URM S 230 V. Wie groß ist derScheitelwert Up ?Lösung:1URM S · Up2 Up 32 · URM S 2 · 230 V 325 V

1.1.3 Frage 3:Eine Wechselspannung hat einen Effektivwert von URM S 10 V. Wie groß ist der Mittelwert UM ?Lösung: 1URM S · Up · 22 2 · URM S U pUp 2 · URM S2· UpUM π2 UM · 2 · URM Sπ2 UM · 2 · 10 VπUM 9, 00 V1.1.4 Frage 4:Mit Hilfe eines Oszilloskopes wird der Spitze-Spitze-Wert einer sinusförmigen Wechselspannung mit Upp 30 V gemessen. Wie groß ist der Effektivwert URM S der Spannung?Lösung:Upp 2 · Up 1 11URM S · Up · · Upp22 21· Upp21 1 · · 30 V 10, 6 V2 2Up 1.1.5 Frage 5:Mit Hilfe eines Oszilloskopes wird die Periodendauer einer sinusförmigen Wechselspannung mit T 200 µs gemessen. Wie groß ist die Frequenz f der Spannung?Lösung:f 11 5 kHzT200 µs4

2 Wechselstromwiderstände2.1 Übungsfragen zu Wechselstromwiderständen2.1.1 Frage 1:Ergänzen Sie den Satz:Der Strom in einer Induktivität eilt der Spannung in der Phase um 90 nach.2.1.2 Frage 2:Ergänzen Sie den Satz:Je größer die Frequenz ist, desto größer ist der Wechselstromwiderstandeiner Induktivität.2.1.3 Frage 3:Ergänzen Sie den Satz:Der Strom in einer Kapazität eilt der Spannung in der Phase um 90 voraus.2.1.4 Frage 4:Ergänzen Sie den Satz:Je größer die Frequenz ist, desto kleiner ist der Wechselstromwiderstandeiner Kapazität.2.1.5 Frage 5:Wie groß ist der Strom I in einer Induktivität mit L 10 H, die an eine Wechselspannungvon U 12 V mit einer Frequenz von f 50 Hz angeschlossen ist? Wie groß ist derKomplexe Strom I, wenn die Spannung U als Reele Spannung vorausgesetzt ist? Lösung:ω 2 · π · f 2 · π · 50 Hz 314 s 1XL ωL 314 s 1 · 10 H 3,14 kΩI 12 VU 3,82 mAXL 3,14 kΩI jI j3,82 mA 5

2.1.6 Frage 6:Bei welcher Frequenz f hat ein Kondensator mit einer Kapazität von C 1 µF einenWechselstromwiderstand von XC 318 Ω?Lösung:XC XC f f f 1ω·C1f ·2·π·f ·CXC12 · π · C · XC12 · π · 1 µF · 318 Ω500 Hz6

3 Schaltnetze3.1 Übungsaufgaben zu Schaltnetzen3.1.1 Aufgabe 1Nebenstehende Schaltung ist an eine Wechselspannung von U 100V mit ω 100 s 1 angschlossen.Die Bauteilwerte sind:C 500 µFL 250 mHR 50 ΩGesucht sind die Ströme IC im Kondensator, IL inder Spule und IR im ohmschen Widerstand.IC X CILIRXLRLösung: Zunächst werden die Blindwiderständevon C und L bestimmt.XC 11 20 Ω 1ω · C 100 s · 500 µFXL ω · L 100 s 1 · 250 mH 25 ΩNun stelle ich die verschiedenen angegebenen Größen im komplexer Form dar:XCXLRU 20 Ω25 Ω50 Ω100 V XC j20 Ω XL j25 Ω R 50 Ω U 100 V Ich fasse XL und R zum Ersatzwiderstand Z1 zusammen.X ·RZ1 L XL R j25 Ω · 50 Ω j25 Ω 50 Ωj1250 Ω2 50 Ω j25 Ω(j1250 Ω2 )(50 Ω j25 Ω) (50 Ω j25 Ω)(50 Ω j25 Ω)j62500 Ω3 31250 Ω3 2500 Ω2 625 Ω231250 Ω3 j62500 Ω3 3125 Ω2Z1 10 Ω j20 Ω 7

In Reihe zu Z1 ist XC geschaltet. Ich erhalte den Gesamt-Ersatzwiderstand der Schaltung:Z X C Z1 j20 Ω 10 Ω j20 ΩZ 10 Ω Als nächstes bestimme ich den Gesamtstrom, der durch Z fließt. Da dies zugleich derStrom im Kondensator ist, nenne ich ihn IC .U Z 100 V 10 Ω 10 AI CI CMit diesem Strom kann ich die Spannung an der Spule und dem Widerstand berechnen.Er fließt durch den Ersatzwiderstand Z1 . Ich nenne die Spannung deshalb U1 .U1 Z1 · IC (10 Ω j20 Ω) · 10 AU1 100 V j200 V Mit Hilfe dieser Spannung kann ich den Strom IL in der Spule berechnen.UIL 1 XL 100 V j200 V j25 Ωj100 V 200 V 25 ΩIL 8 A j4 A erweitern mit jEbenso geht es mit dem Strom IR im Widerstand.U1 R 100 V j200 V 50 Ω 2 A j4 AI RI R8

Gesucht sind aber nicht die komplexen Ströme IR , IC und IL , sondernp deren Beträge IR , IC und IL . Diese können wir mit der Wurzelformel z z (Rez)2 (Imz)2 berechnen.pIR (2 A)2 (4 A)2 4, 472 ApIC (10 A)2 10 ApIL (8 A)2 ( 4 A)2 8, 944 A9

3.1.2 Aufgabe 2Gegeben ist nebenstehende Schaltung.Berechnen Sie den Komplexen ErsatzwiR1L1derstand Z der Schaltung sowie seinen Be trag Z und den PhasenverschiebungswinR2kel ϕ. Folgende Werte sind bekannt:R1 100 ΩR2 200 ΩR3 200 ΩR4 100 Ω L1 0, 1 H L2 0, 1 H ω 1000 s 1R3L2R4Lösung: Wir bestimmen zunächst aus den gegebenen Daten die komplexen Wirk- undBlindwiderstände.R1 100 Ω R2 200 Ω R3 200 Ω R4 100 Ω XL1XL1 j100 Ω XL2XL2 j100 Ω Ich fasse R1 und XL1 mit der Formel für die Reihenschaltung als Z1 zusammen.R1 100 ΩR2 200 ΩR3 200 ΩR4 100 Ω 1 1000 s · 0, 1 H 100 Ω 1000 s 1 · 0, 1 H 100 Ω Z1 R1 XL1 100 Ω j100 Ω Ich fasse Z1 mit R2 zu Z2 zusammen. Dazu verwende ich die Formel für die Parallelschaltung.Z ·R(100 Ω j100 Ω) · 200 Ω20000 Ω2 j20000 Ω2Z2 1 2 Z1 R 2100 Ω j100 Ω 200 Ω300 Ω j100 Ω Damit die Zahlen und die Einheiten nicht so groß werden, klammere ich im Zähler undim Nenner 100 Ω aus und kürze dadurch.Z2 100 Ω · (200 Ω j200 Ω)200 Ω j200 Ω 100 Ω · (3 j1)3 j1Das muss ich jetzt aufteilen können in Real- und Imaginärteil. Dazu muss ich den BruchKonjugiert Komplex erweitern.200 Ω j200 Ω 3 j1600 Ω j200 Ω j600 Ω 200 Ω800 Ω j400 ΩZ2 · 22 3 j13 j13 110Z2 80 Ω j40 Ω Ähnlich müssen wir auch die rechte Teilschaltung zusammenfassen. Die Reihenschaltungaus R3 und XL2 bekommt den Namen Z3 . Die Parallelschaltung von Z3 mit R4 nenne10

ich dann Z4 .Z3 R3 XL2 200 Ω j100 Ω Z3 · R4(200 Ω j100 Ω) · 100 Ω20000 Ω2 j10000 Ω2Z4 Z3 R 4200 Ω j100 Ω 100 Ω300 Ω j100 Ω 200 Ω j100 Ω100 Ω · (200 Ω j100 Ω) 100 Ω · (3 j1)3 j1(200 Ω j100 Ω) · (3 j1)600 Ω j200 Ω j300 Ω 100 Ω700 Ω j100 Ω 22(3 j1) · (3 j1)3 110Z4 70 Ω j10 Ω Um den Gesamtwiderstand Z zu bestimmen, muss ich nun noch Z2 und Z4 addieren. Z Z2 Z4 80 Ω j40 Ω 70 Ω j10 Ω 150 Ω j50 Ω Mit den entsprechenden Formeln kann ich dann den Betrag Z und den Phasenverschiebungswinkel ϕ von Z berechnen. ppZ (ReZ)2 (ImZ)2 (150 Ω)2 (50 Ω)2 158 Ω ImZ50 Ωϕ arctan arctan 18, 43 ReZ150 Ω ϕ 18, 43 Z 158 Ω11

3.1.3 Aufgabe 3Gegeben ist nebenstehende Schaltung.Berechnen Sie den Komplexen ErsatzR1L1R2widerstand Z der Schaltung sowie sei C2nen Betrag Z und den PhasenverschieC1C3bungswinkel ϕ. Folgende Werte sind bekannt:R1 100 Ω R2 200 Ω L1 200 mH C1 2 µF C2 10 µF C3 2 µFω 1000 s 1Lösung: Wie schon bei Aufgabe 2 bestimmen wir zunächst aus den gegebenen Datendie komplexen Wirk- und Blindwiderstände.R1 100 ΩR2 200 Ω 1XL ω · L 1000 s · 200 mH 200 Ω11XC1 500 Ω 1ω · C11000 s · 2 µF11XC2 100 Ω 1ω · C21000 s · 10 µF11XC3 500 Ω ω · C31000 s 1 · 2 µF R1 100 Ω R2 200 Ω XL j200 Ω XC1 j500 Ω XC2 j100 Ω XC3 j500 Ω Als nächstes werden R1 und XL mit Hilfe der Formel für die Reihenschaltung zu Z1zusammengefasst.Z1 R1 XL1 100 Ω j200 Ω Nun kann man mit Hilfe der Formel für die Parallelschaltung Z1 und XC1 zu Z2 zusammengefasst werden. Nachdem die Werte eingesetzt und zusamengefasst sind, wirdausgeklammert, gekürzt und Konjugiert Komplex erweitert, um Z2 in Realteil und Ima ginärteil aufspalten zu können.Z ·X(100 Ω j200 Ω) · ( j500 Ω) j50000 Ω2 100000 Ω2Z2 1 C1 Z1 XC1100 Ω j200 Ω ( j500 Ω)100 Ω j300 Ω 100 Ω · ( j500 Ω 1000 Ω) j500 Ω 1000 Ω( j500 Ω 1000 Ω) · (1 j3) 100 Ω · (1 j3)1 j3(1 j3) · (1 j3) j500 Ω 1500 Ω 1000 Ω j3000 Ω2500 Ω j2500 Ω 250 Ω j250 Ω221 310Die Parallelschaltung aus R2 und XC3 nenne ich Z3 und berechne sie mit der Parallelschaltungsformel. Anschließend wird wieder zusammengefasst, ausgeklammert, gekürztund Konjugiert Komplex erweitert.12

200 Ω · ( j500 Ω)R ·X j100000 Ω2100 Ω · ( j1000 Ω)Z3 2 C3 R2 XC3200 Ω ( j500 Ω)200 Ω j500 Ω100 Ω · (2 j5) j1000 Ω( j1000 Ω) · (2 j5) j2000 Ω 5000 Ω j2000 Ω 5000 Ω 222 j5(2 j5) · (2 j5)2 529 j68, 97 Ω 172, 41 ΩDie drei Widerstände Z2 , XC2 und Z3 sind in Reihe geschaltet. Ich kann also den GesamtScheinwiderstand Z mit der Reihenschaltungsformel berechnen und zusammenfassen.Z Z2 XC2 Z3 250 Ω j250 Ω j100 Ω j68, 97 Ω 172, 41 Ω 422, 41 Ω j81, 03 Ω Der Betrag und der Phasenwinkel dieses Widerstandes kann wieder mit Hilfe der Grundformeln berechnet werden.ppZ (ReZ)2 (ImZ)2 (422, 41 Ω)2 (81, 03 Ω)2 430, 11 Ω ImZ81, 03 Ωϕ arctan arctan 10, 86 ReZ422, 41 Ω Z 430, 11 Ω13ϕ 10, 86

3.1.4 Aufgabe 4Gegeben ist nebenstehende Schaltung. BestimmenSie den Komplexen Ersatzwiderstand Z der Schal tung! Bekannt sind folgende Werte:ω 100 s 1 L1 0, 5 H L2 1 HC1 500 µF C2 100 µF R1 20 ΩR2 50 Ω R3 50 Ω R4 30 ΩL1C1R1R3R2C2L2R4Lösung: Zur Lösung bestimme ich zunächst dieentsprechenden Blindwiderstände aus der Kreisfrequenz und den L- und C-Werten.XL1 ω · L1 100 s 1 · 0, 5 H 50 ΩXL2 ω · L2 100 s 1 · 1 H 100 Ω11XC1 20 Ωω · C1100 s 1 · 500 µF11XC2 100 Ω 1ω · C2100 s · 100 µFR1 20 ΩR2 50 ΩR3 50 ΩR4 30 Ω XL1 j50 Ω XL2 j100 Ω XC1 j20 Ω XC2 j100 Ω R1 20 Ω R2 50 Ω R3 50 Ω R4 30 Ω Ich beginne bei der Reihenschaltung aus R3 und L2 . Den zugehörigen Teilersatzwiderstand nenne ich Z1 .Z1 R3 XL2 Z1 50 Ω j100 Ω Parallel zu Z1 ist C2 geschaltet. Den zugehörigen Teilersatzwiderstand nenne ich Z2 .X ·ZZ2 C2 1 XC2 Z1 j100 Ω · (50 Ω j100 Ω) j100 Ω 50 Ω j100 Ω j5000 Ω2 10000 Ω2 50 ΩZ2 j100 Ω 200 Ω In Reihe zu Z2 ist R4 geschaltet. Den zugehörigen Teilersatzwiderstand nenne ich Z3 .Z3 R 4 Z 2 30 Ω j100 Ω 200 ΩZ3 230 Ω j100 Ω 14

Parallel zu Z3 ist R2 geschaltet. Den zugehörigen Teilersatzwiderstand nenne ich Z4 .Z ·RZ4 3 2 Z3 R 2 (230 Ω j100 Ω) · 50 Ω 230 Ω j100 Ω 50 Ω11500 Ω2 j5000 Ω2 280 Ω j100 Ω(11500 Ω2 j5000 Ω2 ) · (280 Ω j100 Ω) (280 Ω j100 Ω) · (280 Ω j100 Ω)3220000 Ω3 j1150000 Ω3 j1400000 Ω3 500000Ω3 78400 Ω2 10000 Ω23720000 Ω3 j250000 Ω3 88400 Ω2Z4 42, 081 Ω j2, 828 Ω Parallel zu Z4 ist C1 geschaltet. Den zugehörigen Teilersatzwiderstand nenne ich Z5 .Z ·XZ5 4 C1 Z4 XC1 (42, 081 Ω j2, 828 Ω) · ( j20 Ω) 42, 081 Ω j2, 828 Ω j20 Ω j841, 62 Ω2 56, 56 Ω2 42, 081 Ω j22, 828 Ω( j841, 62 Ω2 56, 56 Ω2 ) (42, 081 Ω j22, 828 Ω) (42, 081 Ω j22, 828 Ω)(42, 081 Ω j22, 828 Ω) j35416 Ω3 19212 Ω3 2380 Ω3 j1291 Ω3 1771 Ω2 521 Ω236832 Ω j36707 Ω3 2292 Ω2Z5 7, 344 Ω j16, 02 Ω In Reihe zu Z5 sind R1 und L1 geschaltet. Damit ergibt sich der Gesamtwiderstand Z der Schaltung.Z XL1 Z5 R1 Z j50 Ω 7, 344 Ω j16, 02 Ω 20 Ω Z 27, 344 Ω j33, 98 Ω 15

3.1.5 Aufgabe 5Bestimmen Sie die Ströme I1 , I2 und I3 inden Außenleitern des nebenstehend dargestellten Dreiphasenwechselstromnetzesmit UL 400V! Stellen Sie dazu ein Lineargleichungssystem für die drei Komplexen Ströme I1 , I2 und I3 auf und lösen Sie das Gleichungssystem. Berechnen Sieanschließend die gesuchten Beträge derStröme I1 , I2 und I3 . Bekannt sind dieWerte:XL 100 Ω; XC 200 Ω; R 50 ΩL1L2L3FI1XLI2XCI3RLösung: Um einen besseren Überblick zu erhalten, wird die Schaltung zunächst etwas umgezeichR I3I XL NL1 1L3net. Dabei werden aus dem Dreiphasen-Wechselspannungsnetz nur die Spannungen U12 und U23 verwenXCU23det; mit diesen wird aber trotzdem das komplette U12Netz vollständig beschrieben. Zur besseren OrientieI2rung habe ich die Punkte, die die Außenleiter L1, L2L2und L3 sowie den Sternpunkt N bezeichnen, mit indie Schaltung eingetragen.Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ich dieSchaltung analysieren möchte. Da ich mit dem MaschenstromverfahI1I3ren arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen Vollständigen Baum“,”der alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Wegmiteinander verbindet. Dieser auf einen einzigen Strich verkümmerte“”Baum ist in grüner Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die Maschenströme I1 und I3 , mit denen das Gleichungssystem aufgestellt wird. Die Masche 1 verläuftüber XL , XC und U12 , Masche 3 entsprechend über R, XC und U23 .Bevor wir beginnen können, sollten wir die komplexen Spannungen festlegen. Ich legeU12 in die reelle Richtung. Damit ist: U12 400 V Die Spannung U23 eilt der Spannung U12 um 120 nach. Damit ergibt sich für U23 : U23 400 V · e j120 400 V · cos( 120 ) j sin( 120 ) 200 V j346,4 V Weiterhin ist:XL jXL j100 Ω 16

XC jXC j200 Ω Jetzt können wir einen Maschenumlauf für Masche 1 und Masche 3 aufstellen.(1) XL · I1 XC · (I1 I3 ) U12 (3) R · I2 XC · (I2 I1 ) U23 (1)X L · I1 X C · I1 X C · I3 (3)R · I2 X C · I2 X C · I1 (1)(XL XC ) · I1 XC · I3 (3)XC · I1 (R XC ) · I2 Nun können die gegebenen Werte eingesetzt werden. 00U12 U23 U12 U23 (1)(XL XC ) · I1 XC · I3 U12 (R XC ) · I3 U23(3)X C · I1 (1) (j100 Ω j200 Ω) · I1 j200 Ω · I3 400 V (3) j200 Ω · I1 (50 Ω j200 Ω) · I3 200 V j346,4 V (1) j100 Ω · I1 j200 Ω · I3 400 V (3) j200 Ω · I1 (50 Ω j200 Ω) · I3 200 V j346,4 V Multipliziert man Gleichung (1) mit 2, dann können die beiden Gleichungen einfachaddiert werden. I1 fällt dann weg. · ( 2) j200 Ω · I3 400 V(1) j100 Ω · I1 (3) j200 Ω · I1 (50 Ω j200 Ω) · I3 200 V j346,4 V j400 Ω · I3 800 V(1)j200 Ω · I1 (3) j200 Ω · I1 (50 Ω j200 Ω) · I3 200 V j346,4 V (50 Ω j200 Ω) · I3 600 V j346,4 V V j346,4 VI 60050 Ω j200 Ω 3I 12 j6,928A1 j4 3 12 j6,928 1 j4I · 1 j4 A1 j4 3 12 j48 j6,928 27,712I A1 16 315,712 j54,928I A17 3I 0,9242 A j3,231 A 3Zur Bestimmung von I1 setze ich das Ergebnis in Gleichung (1) ein. j100 Ω · I1 j200 Ω · (0,9242 A j3,231 A) j100 Ω · I1 j184,84 V 646,2 V j100 Ω · I1 I 1I 1I 117 400 V 400 V j184,84 V 646,2 V j184,84 V 246,2 V : ( j100 Ω)j184,84 V 246,2 V j · j100 Ωj 184,84 V j246,2 V 100 Ω 1,8484 A j2,462 A

Mit diesen Ergebnissen kann nun auch I2 bestimmt werden. Nach der Kirchhoffschen Knotenregel gilt:I I I 1 2 3I 2I 2I 2I 2 0 I1 I3 I1 I3 ( 1,8484 A j2,462 A) (0,9242 A j3,231 A)1,8484 A j2,462 A 0,9242 A j3,231 A0,9242 A j0,769 AMit diesen Daten können wir nun die Beträge der drei Ströme bestimmen. Zur Erinnerung vorweg die zugehörige Grundformel:pI (ReI)2 (ImI)2 pI1 (1,8484 A)2 (2,462 A)2 3,079 ApI2 (0,9242 A)2 (0,769 A)2 1,202 ApI3 (0,9242 A)2 (3,231 A)2 3,361 A18

3.1.6 Aufgabe 6Die Ströme in nebenstehende Schaltungkönnen durch ein Lineargleichungssystem beschrieben werden. Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie die KomplexenStröme I1 , I2 und I3 . Bekannt sind die Werte: R1 1 kΩ; XC1 3 kΩR2 2 kΩ; XC2 4 kΩXL 2 kΩ; U1 j4 V; U2 4 V R1C1C2I3I1U1R2I2U2LLösung: Vorweg können R1 und C1 zu Z1 und R2 und C2 zu Z2 zusammengefasstwerden.Z1 R1 XC1 1 kΩ j3 kΩ Z2 R2 XC2 2 kΩ j4 kΩ Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ich dieSchaltung analysieren möchte. Da ich mit dem MaschenstromverfahI1I2ren arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen Vollständigen Baum“,”der alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Wegmiteinander verbindet. Dieser auf einen einzigen Strich verkümmerte“”Baum ist in grüner Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die Maschenströme I1 und I2 , mit denen das Gleichungssystem aufgestellt wird. Die Masche 1 verläuftüber Z1 , XL und U1 , Masche 2 entsprechend über Z2 , U2 und XL .Z1 · I1 XL · (I1 I2 ) U1 Z2 · I2 XL · (I2 I1 ) U2 Z 1 · I1 X L · I1 X L · I2 Z 2 · I2 X L · I2 X L · I1 (Z1 XL ) · I1 XL · I2 XL · I1 (Z2 XL ) · I2 Nun können die gegebenen Werte eingesetzt werden.(1)(2)(1)(2)(1)(2) 00U1 U2 U1 U2 XL · I2(1)(Z1 XL ) · I1 (2) XL · I1 (Z2 XL ) · I2 (1) (1 kΩ j3 kΩ j2 kΩ) · I1 j2 kΩ · I2 (2) j2 kΩ · I1 (2 kΩ j4 kΩ j2 kΩ) · I2 (1)(1 kΩ j1 kΩ) · I1 j2 kΩ · I2 (2) j2 kΩ · I1 (2 kΩ j2 kΩ) · I2 19 U1 U2 j4 V 4 Vj4 V 4 V

Zur Lösung kann man natürlich jedes beliebige Lösungsverfahren für Lineargleichungssysteme verwenden.1Ich möchte gern das Additions-/Subtraktionsverfahren verwenden. Damit beim Addieren die Variable I1 wegfällt, multipliziere ich Gleichung (1) mit j2 und Gleichung (2) mit (1 j1).(1)(1 kΩ j1 kΩ) · I1 j2 kΩ · I2 (2) j2 kΩ · I1 (2 kΩ j2 kΩ) · I2 (1)(j2 kΩ j 2 2 kΩ) · I1 j 2 4 kΩ · I2 (2) ( j2 kΩ j 2 2 kΩ) · I1 (2 kΩ j2 kΩ j2 kΩ j 2 2 kΩ) · I2 (1)(j2 kΩ 2 kΩ) · I1 4 kΩ · I2 (2)( j2 kΩ 2 kΩ) · I1 (2 kΩ j2 kΩ j2 kΩ 2 kΩ) · I2 (1)(j2 kΩ 2 kΩ) · I1 4 kΩ · I2 (2)( j2 kΩ 2 kΩ) · I1 j4 kΩ · I2 (4 kΩ j4 kΩ) · I2 I 2I 2I 2I 2I 2I 2I 21 j4 V 4 Vj28 V 4 V j4 V 8 V 4 V j4 V 8 V 4 V j4 V 12 V j4 V · (j2) · (1 j1) : (4 kΩ j4 kΩ) 12 V j4 V4 kΩ j4 kΩ 3 j11 j1 mA( 3 j1)·(1 j1)(1 j1)·(1 j1) mA 3 j3 j j 2mA1 j 2 3 j3 j 1mA1 1 4 j22 mA 2 mA j1 mAIn Frage kommt beispielsweise das Einsetzungsverfahren, das Additions-/Subtraktionsverfahren, dieCramersche Regel oder das Gauß-Jordan-Verfahren. Einzelheiten zu den verschiedenen Verfahrensind hier zu finden:Einsetzungsverfahren: dditions-/Subtraktionsverfahren: rsche Regel: uß-Jordan-Verfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf20

Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein, um I1 zu bestimmen. j2 kΩ · I1 (2 kΩ j2 kΩ) · I2 j2 kΩ · I1 (2 kΩ j2 kΩ) · ( 2 mA j1 mA) j2 kΩ · I1 4 V j2 V j4 V j 2 2 V j2 kΩ · I1 4 V j2 V j4 V 2 V j2 kΩ · I1 6 V j2 V j2 kΩ · I1 I 1 I 1I 1I 1 4 V 4 V 4 V 4 V 4 V 6 V j2 V2 V j2 V : ( j2 kΩ)2 V j2 V j· j2 kΩj2j2 V j 2 V j 2 2 kΩj2 V 2 V2 kΩ1 mA j1 mADamit kann nun I3 bestimmt werden:I3 I1 I2 1 mA j1 mA ( 2 mA j1 mA) 1 mA j1 mA 2 mA j1 mA 3 mA j2 mAZusammengefasstes Ergebnis: I1 1 mA j1 mA 21I 2 mA j1 mA 2I 3 mA j2 mA 3

3.1.7 Aufgabe 7Nebenstehende Schaltung ist an zweiSpannungsquellen U01 und U02 mit einer Spannung von je 60 V angeschlossen.Die Phasenverschiebung zwischen diesenbeiden Spannungen beträgt 0 . Berech- U01nen Sie die Komplexen Ströme I1 bis I5 . Bekannt sind diese Werte:R1 6 Ω; R2 3 Ω; R3 10 Ω;XC1 6 Ω XC2 15 Ω XL1 12 ΩI1 R1L1I4C2I2C1I5R3I3 R2U02Lösung: Zunächst stelle ich die gegebenen Größen als komplexe Werte auf. Da beideSpannungen die gleiche Phasenlage haben, lege ich die Spannungen entlang der reellenAchse fest:U01 U02 60 V Die anderen komplexen Größen können aufgestellt werden:R1 6 Ω R2 3 Ω R3 10 Ω XC1 j6 Ω XC2 j15 Ω XL1 j12 Ω Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ichdie Schaltung analysieren möchte. Da ich mit dem MaschenstromI1I3verfahren arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen Vollständigen”I4Baum“, der alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Weg miteinander verbindet. Die beiden Knoten über bzw. unterC2 und R3 sind in Wahrheit nur jeweils ein Knoten, da sie leitend miteinander verbunden sind. Dieser auf einen einzigen Strich verkümmerte“ Baum ist in”grüner Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die Maschenströme I1 , I3 und I4 , mit denendas Gleichungssystem aufgestellt wird. Der Strom I2 bleibt zunächst außen vor, er wirdzum Schluss berechnet.Mit diesem Baum können nun die Maschengleichungen aufgestellt werden.(1) (R1 XL1 R3 ) · I1 R3 · I3 R3 · I4 U01 (3) R3 · I1 (R3 XC1 R2 ) · I3 R3 · I4 U02 (4) R3 · I1 R3 · I2 (XC2 R3 ) · I4 0 22

Um die Rechnung etwas zu vereinfachen trage ich die Zahlenwerte ohne Einheiten ein.Die Widerstände werden in Ohm und die Spannungen in Volt eingetragen, dann erhaltenwir die Einheit Ampere für die sich ergebenden Ströme.(1) (16 j12) · I1 10 · I3 10 · I4 60 (3) 10 · I1 (13 j6) · I3 10 · I4 60 (4) 10 · I1 10 · I3 (10 j15) · I4 0 Dieses Gleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden.2 Ichmöchte hier die Cramersche Regel verwenden.I 1 I 1 60 10 10 60 (13 j6)10010(10 j15)(16 j12) 10 10 10(13 j6)10 1010(10 j15)60 · (13 j6) · (10 j15) ( 10) · ( 60) · 10···(16 j12) · (13 j6) · (10 j15) ( 10) · 10 · ( 10) ( 10) · ( 10) · 10 10 · 10 · 60 (10 j15) · ( 60) · ( 10)··· ( 10) · (13 j6) · ( 10) 10 · 10 · (16 j12) (10 j15) · ( 10) · ( 10)(2 400 j15 300) 6 000 6 000 (6 000 j9 000)(3 700 j3 600) 1 000 1 000 (1 300 j600) (1 600 j1 200) (1 000 j1 500)2 400 j15 300 6 000 6 000 6 000 j9 0003 700 j3 600 1 000 1 000 1 300 j600 1 600 j1 200 1 000 j1 500 3 600 j6 3001 800 j2 700 36 j6318 j27( 36 j63) · (18 j27)(18 j27) · (18 j27) 648 j972 j1 134 1 701324 7291 053 j2 1061 0531 j2Ergebnis: I1 1 A j2 A Als nächstes kann der Strom I3 bestimmt werden. Da im Nenner für alle Ströme dieselbe Determinante steht, kann dieser Wert hier sofort eingesetzt werden. Er wurde ja2In Frage kommt beispielsweise das Einsetzungsverfahren, das Additions-/Subtraktionsverfahren, dieCramersche Regel oder das Gauß-Jordan-Verfahren. Einzelheiten zu den verschiedenen Verfahrensind hier zu finden:Einsetzungsverfahren: dditions-/Subtraktionsverfahren: rsche Regel: uß-Jordan-Verfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf23

schon für I1 bestimmt. I 3 I 3 (16 j12) 60 10 10 6010 100(10 j15)1 800 j2 700(16 j12) · ( 60) · (10 j15) 60 · 10 · ( 10) ( 10) · ( 60) · ( 10) (10 j15) · ( 10) · 601 800 j2 700( 20 400 j7 200) 6 000 6 000 ( 6 000 j9 000)1 800 j2 700 20 400 j7 200 6 000 6 000 6 000 j9 0001 800 j2 700 14 400 j1 8001 800 j2 700 144 j1818 j27( 144 j18) · (18 j27)(18 j27) · (18 j27) 2 592 j3 888 j324 486324 729 2 106 j4 2121 053 2 j4Ergebnis: I3 2 A j4 A Zur Bestimmung von I4 verwende ich Gleichung (3), weil hier am Schluss nur durch die reelle Zahl 10 dividiert werden muss. 10 · I1 (13 j6) · I3 10 · I4 10 · (1 j2) (13 j6) · ( 2 j4) 10 · I4 10 j20 26 j52 j12 24 10 · I2 60 j20 10 · I2 10 · I2 I 2 60 60 60 60 60 j20j20 : 10j2Ergebnis: I4 j2 A Damit ist das Gleichungssystem gelöst. Es fehlen aber noch die Ströme I2 und I5 . Dazu gehen wir in die Originalschaltung hinein. Ab Knoten rechts von L1 kann die Knotengleichung zur Bestimmung von I2 aufgestellt werden. I I 2 I4 I4 1 I1 I4 I 2 I (1 A j2 A) j2 A 2I 1 A j4 A 2Ergebnis: I2 1 A j4 A 24

Zur Bestimmung von I5 verwendet man sinngemäß den Knoten oberhalb von R3 . I I 5 I3 I3 2 I2 I3 I 5 I5 (1 A j4 A) ( 2 A j4 A) I 1 A j4 A 2 A j4 A 5I 3A 5Ergebnis: I5 3 A Hier noch einmal alle Ergebnisse zusammengefasst:I 1I 2I 3I 4I 5 1 A j2 A1 A j4 A 2 A j4 Aj2 A3A25

4 Kompensation4.1 Berechnungen der KompensationDie Grundlagen zur Berechnung bei Kompensation sind hier zu els.pdf4.2 Lösungen der Übungsaufgaben zur Kompensation4.2.1 Aufgabe 1Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Bestimmen Sieden Widerstand R2 so, dass der GesamtwiderstandZ der Schaltung reell wird! Folgende Werte sind be kannt:XC 2 Ω XL 8 Ω R1 4 ΩWie groß wird damit der Ersatzwiderstand Z der Schaltung?R1XCR2XLLösung: Um das Problem lösen zu können, stelle ich die Formel auf, mit deren Hilfe Z aus den Blind- und Wirkwiderständen bestimmt wird. Dabei setze ich die unbekanntenGröße R2 an mit: R2 R Mit diesem Ansatz erreiche ich, dass ich nur eine reelle Größe – nämlich R – bestimmenmuss. Die Liste der verwendeten Größe sieht damit dann so aus:R1 R2 XL XC 4ΩRj8 Ω j2 ΩBeginnen wir mit der Zusammenfassung der Parallelschaltung aus R1 und XC . DenErsatzwiderstand nenne ich Z1 .R ·XZ1 1 C R1 X C 4 Ω · ( j2 Ω) 4 Ω ( j2 Ω) j8 Ω2 4 Ω j2 Ω j4 ΩZ1 2 j26

Mit Z1 in Reihe geschaltet ist R2 . Den Ersatzwiderstand dieser Reihenschaltung nenneich Z2 . Wir können Z2 berechnen. Z2 Z 1 R 2 j4 ΩZ2 R 2 jParallel zu Z2 ist XL geschaltet. Damit können wir nun den Ersatzwiderstand der gesamten Schaltung Z aufstellen. Z ·XZ 2 L Z2 X L j4 Ω R· j8 Ω2 j Z j4 Ω R j8 Ω2 jBevor wir weiterrechnen, sollten wir diesen Term vereinfachen. Dazu fassen wir im Zählerund im Nenner des Hauptbruches die Teilbrüche zusammen, damit wir anschließend dieNenner der Teilbrüche herauskürzen können. j4 Ω R · j8 Ω2 j Z j4 Ω R j8 Ω2 j j4 Ω R(2 j)· j8 Ω2 j j4 Ω R(2 j) j8 Ω(2 j)2 j( j4 Ω R(2 j)) · j8 Ω j4 Ω R(2 j) j8 Ω(2 j)( j4 Ω 2R jR) · j8 Ω j4 Ω 2R jR j16 Ω j 2 8 Ω j 2 32 Ω2 j16 ΩR j 2 8 ΩR j4 Ω 2R jR j16 Ω 8 Ω32 Ω2 j16 ΩR 8 ΩRZ 2R jR j12 Ω 8 ΩNachdem wir nun den Term für Z vereinfacht haben, gibt zwei grundsätzlich verschiedene Wege, wie man weiterarbeiten kann. 1. Wir können den Term für Z in einen Realteil und einen Imaginärteil aufspalten. Dann können wir den Imaginärteil gleich Null setzen, um dadurch R zu bestimmen.2. Da Z laut Aufgabenstellung als reelle Größe bekannt ist, können wir Z Z setzen. Dadurch erhalten wir die Möglichkeit, die Gleichung in Real- und Imaginärteileaufzuspalten. Wir bekommen dann zwei Gleichungen mit zwei Variablen, nämlichZ und R.Um die Vor- und Nachteile der beiden Verfahren besser unterscheiden zu können, führeich nacheinander beide vor.27

Lösungsweg 132 Ω2 j16 ΩR 8 ΩRZ 2R jR j12 Ω 8 Ω32 Ω2 j16 ΩR 8 ΩR (2R 8 Ω) j(R 12 Ω)(32 Ω2 j16 ΩR 8 ΩR) · ((2R 8 Ω) j(R 12 Ω)) ((2R 8 Ω) j(R 12 Ω)) · ((2R 8 Ω) j(R 12 Ω))(32 Ω2 j16 ΩR 8 ΩR) · (2R 8 Ω jR j12 Ω) (2R 8 Ω)2 (R 12 Ω)264 Ω2 R 256 Ω3 j32 Ω2 R j384 Ω3 j32 ΩR2 j128 Ω2 R 16 ΩR2 ···4R2 32 ΩR 64 Ω2 R2 24 ΩR 144 Ω2 192 Ω2 R 16 ΩR2 64 Ω2 R j8 ΩR2 j96 Ω2 R······320 Ω2 R 256 Ω3 j64 Ω2 R j384 Ω3 j40 ΩR2 5R2 8 ΩR 208 Ω2264 Ω2 R 384 Ω3 40 ΩR2320 Ω R 256 Ω3 jZ 5R2 8 ΩR 208 Ω25R2 8 ΩR 208 Ω2Da Z reell sein soll, ist der Imaginärteil von Z gleich Null. Damit bekommen wir eine Gleichung zur Bestimmung von R.Im(Z) 64 Ω R 384 Ω 40 ΩR25R2 8 ΩR 208 Ω264 Ω2 R 384 Ω3 40 ΩR240 ΩR2 64 Ω2 R 384 Ω3R2 1,6 ΩR 9,6 Ω22 03R1/2R1R2 0 · Nenner 0 0 : 40 Ω 0 p-q-Formelp 0,8 Ω 0,64 Ω2 9,6 Ω2 0,8 Ω 3,2 Ω 2,4 Ω 4 Ω (entfällt)Die Lösung lautet also R 2,4 Ω , denn negative Widerstände gibt es nicht.28

Lösungsweg 2 Als alternative Lösungsmethode können wir Z Z setzen. Dadurch erhalten wir die Möglichkeit, die Gleichung in Real- und Imaginärteile aufzuspalten. Wirbekommen dann zwei Gleichungen mit zwei reellen Variablen, nämlich Z und R.32 Ω2 j16 ΩR 8 ΩRZ 2R jR j12 Ω 8 Ω32 Ω2 j16 ΩR 8 ΩRZ 2R jR j12 Ω 8 Ω2RZ jRZ j12 ΩZ 8 ΩZ 32 Ω2 j16 ΩR 8 ΩR · (2R jR j12 Ω 8 Ω)Aus dieser komplexen Gleichung können wir nun zwei reelle Gleichungen machen, indemwir die Gleichung in eine Gleichung für die Realteile und eine andere für die Imaginärteileaufspalten.Re:Im:2RZ

Musterl osungen zu Grundlagen der Wechselstromtechnik W. Kippels 29. November 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Grundgr oˇen der Wechselstromtechnik 2 1.1 Ubungsfragen zu .