e-dokumen.com

ini seefisien mungkin? Salah satu alternatif jawabannya adalah sebelummasuk ke pelajaran ini, guru menugaskan siswa untuk membacakembali dan menjawab pertanyaan yang sudah disiapkan guru tentangkonsep-konsep yang terdapat pada barisan aritmetika maupungeometri. Jadi, sewaktu guru membicarakan barisan-barisan ini, siswasudah “nyambung” apa yang dibicarakan guru. Waktu yang dialokasikanuntuk materi ini dapat lebih difokuskan untuk menyelesaikan masalahmasalah yang berkaitan dengan barisan aritmetika atau geometri.Strategi pelaksanaan sudah jelas, tetapi supaya siswa tertarik untukmempelajari materi ini maka harus diawali dengan memotivasi siswamengapa mereka harus mempelajari materi ini. Guru dapat mengatakanbahwa materi ini menjadi prasyarat bagi materi matematika yang lain,misalnya dalam membicarakan pembuktian dengan induksimatematika, hitung keuangan untuk siswa jurusan Ilmu PengetahuanSosial dan dalam kehidupan sehari-hari. Pertanyaannya: konteks apadalam kehidupan sehari-hari yang dapat digunakan untuk barisanaritmetika atau geometri?Bagi Anda yang pernah naik taksi yang menggunakan argometer,pernahkah Anda memperhatikan perubahan bilangan yang tercantumpada argometer? Apakah bilangan-bilangan itu berganti secara periodikdan apakah pergantiannya menuruti aturan tertentu? Jika Andamemperhatikan mulai dari awal bilangan yang tercantum padaargometer dan setiap perubahan yang terjadi, apa yang dapat Andasimpulkan dari barisan bilangan-bilangan tersebut? Perhatikan bahwaperubahan bilangan-bilangan pada argometer taksi menuruti aturantertentu. Setiap dua bilangan yang berurutan mempunyai selisih yangtetap. Barisan bilangan yang seperti itu disebut barisan aritmetika.Iwan mencari rumah temannya di Jalan Gambir no. 55. Setelah sampaidi Jalan Gambir ia memperhatikan bahwa rumah-rumah yang terletak disebelah kanan jalan adalah rumah-rumah dengan nomor urut genap 2,4, 6, 8, dan seterusnya. Dengan memperhatikan keadaan itu, kearahmanakah Iwan mencari rumah temannya? Barisan nomor-nomorrumah di atas baik di sebelah kiri maupun kanan merupakan barisanbilangan aritmetika.6Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Bagi Anda yang sering menjadi pelanggan warung telekomunikasi, tentujuga melihat apa yang terjadi pada display ongkos percakapan ketikaAnda telah tersambung. Angka yang tertera, merupakan tarif awalpercakapan. Selanjutnya angka itu berubah menurut aturan tertentu,yaitu tarif pulsa per periode waktu. Ini juga contoh dari kehadiranbarisan aritmetika.Amuba berkembang biak dengan cara membelah diri. Misalkan pertamaada satu amuba. Setelah waktu tertentu, amuba kemudian membelahdiri sehingga menjadi dua. Selanjutnya pada waktu tertentu lagi amubaamuba itu membelah diri lagi, sehingga semuanya menjadi empat danseterusnya. Jika banyak amuba itu dinyatakan dengan bilangan,diperoleh 1, 2, 4, 8, . Karena perbandingan antara dua suku berturutanadalah tetap, yaitu 2, maka barisan banyaknya amuba itu adalah barisangeometri.Diasumsikan bahwa harga tanah mengikuti pola selalu bertambah n%dari tahun sebelumnya. Misalkan untuk mempermudah perhitungan nbernilai 5% dan harga tanah di suatu desa sekarangRp 200.000,- per meter persegi. Ini berarti setahun lagi harga tanahmenjadi Rp 210.000,- per meter persegi. Tahun-tahun berikutnyaberturut-turut harga tanah per meter persegi dalam rupiah menjadi220.500, 231.525, dan seterusnya. Ternyata ini juga adalah contohbarisan geometri.Tugas 1Carilah minimal masing-masing satu konteks barisan aritmetika danbarisan geometri.Dra. Puji Iryanti, M.Sc.Ed. Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan Dan Notasi Sigma Di SMA7

D.Soal-soal yang Berhubungan denganAritmetika dan Barisan GeometriKonsepBarisanSekedar mengingatkan Anda, berikut ini adalah rumus-rumus yangdipakai dalam barisan aritmetika dan geometri.Pada barisan aritmetika:b un – un-1un a (n 1)bdengan un suku ke-n, a suku pertamadan b bedaSifat yang berlaku,2ut ut p ut p , atauut ut p ut p2, t p , t dan p bilangan asli.Contoh penerapan sifat itu adalah u2 u1 u3u u, u6 2 10 .22Pada barisan geometri:r unun 1un ar n 1dengan un suku ke-n, a suku pertama danr rasioSifat yang berlaku:2ut ut p ut p , t p , t dan p bilangan aslitetapi tidak berarti selalu ut ut p ut p2Contoh penerapan sifat itu adalah u3 u1 u5 .Cobalah Anda selesaikan dulu soal-soal berikut ini. Kemudianbandingkanlah penyelesaian yang Anda kerjakan dengan penyelesaianyang diberikan setelah soal-soal ini.1.8Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknyamenurut aturan barisan aritmetika. Semakin muda usia anaksemakin banyak permen yang diperoleh. Banyak permen yangditerima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah.Berapakah banyak permen yang diterima oleh anak terkecil?Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

2.3.4.5.6.Tetangga Beni mempunyai tiga anak yang umurnya membentukbarisan aritmetika. Lima tahun yang lalu, umur anak tertua samadengan empat kali umur anak termuda. Umur Beni sekarang adalahjumlah umur ketiga anak itu. Separuh umur Beni sekarang samadengan jumlah umur ketiga anak lima tahun yang lalu. Berapaumur Beni dan ketiga anak itu?Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125. Tentukan banyakbilangan yang:a. habis dibagi 2.b. habis dibagi 5.c. habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5.Tentukan 8 suku pertama dari suatu barisan aritmetika yang sukuke-2 adalah 42 dan suku ke-6 adalah 72Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku tengahdikurangi 5 maka terbentuk barisan geometri dengan rasio 2.Tentukan bilangan-bilangan tersebut.Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilanganitu adalah 147 dan hasil kalinya adalah 21952. Tentukan barisangeometri itu!Sekarang cobalah Anda bandingkan penyelesaian soal-soal di atasdengan penyelesaian yang Anda kerjakan.1.Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurutaturan barisan aritmetika. Semakin muda usia anak semakinbanyak permen yang diperoleh. Banyak permen yang diterimaanak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah. Berapa banyakpermen yang diterima oleh anak terkecil?Penyelesaian:Misal permen yang diterima 5 anak tersebut mulai dari anak tertuaadalaha, a b, a 2b, a 3b, a 4ba b 11 .1)a 3b 19 .2)Persamaan 2) dikurangkan dengan 1) diperoleh b 4, selanjutnyaa 7.Dra. Puji Iryanti, M.Sc.Ed. Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan Dan Notasi Sigma Di SMA9

a 4b 7 4(4) 23Jadi, banyak permen yang diterima anak terkecil adalah 23 buah.2.Tetangga Beni mempunyai tiga anak yang umurnya membentukbarisan aritmetika. Lima tahun yang lalu, umur anak tertua samadengan empat kali umur anak termuda. Umur Beni sekarangadalah jumlah umur ketiga anak itu. Separuh umur Beni sekarangsama dengan jumlah umur ketiga anak lima tahun yang lalu.Berapa umur Beni dan ketiga anak itu?Penyelesaian:Misal umur Beni adalah x dan umur tiga anak mulai dari anaktertua p b, p, p b. (diambil pemisalan suku-suku barisan aritmetikaseperti ini supaya ketika dijumlahkan akan diperoleh persamaandalam satu peubah).Keadaan sekarang berlakux (p b) (p) (p b) 3pJuga berlaku1x 3p 152.1).2)Lima tahun yang lalu berlakup b 5 4(p b 5) 3p 5b 15.3)Dari penyelesaian 1) dan 2) diperoleh p 10.Substitusi nilai p ke 3) diperoleh b 3.Umur ketiga anak itu mulai dari yang tertua dalam tahun adalah 13,10, 7.Umur Beni sekarang adalah 30 tahun.3.10Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125. Tentukan banyakbilangan yanga. habis dibagi 2.b. habis dibagi 5.c. habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5.Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Penyelesaian:Barisan bilangan itu adalah 1, 2, 3, 4, ., 124.a. Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2, 4, 6, 8, ., 124.b. Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5, 10, 15, 20, .,120.c. Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi5 adalah anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangianggota penyelesaian pertanyaan b. Jadi, barisan bilanganyang habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 5 adalah2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, . ,118, 122, 124.4.Tentukan 8 suku pertama dari suatu barisan aritmetika yang sukuke-2 adalah 42 dan suku ke-6 adalah 72.Penyelesaian:Salah satu alternatif penyelesaian adalah menggunakan sifatbarisan aritmetika:u u4u u6u u6; u4 2; u5 4.u3 2222Dari informasi yang ada, suku ke-4 barisan ini diperoleh lebih dulu,42 72yaitu u4 57.2Kemudian diperoleh u3 42 5757 72 49,5 dan u5 64,5.22Dari sini diperoleh beda b 7,5 dan suku pertama a 34,5.Jadi 8 suku pertama barisan itu adalah 34,5; 42; 49,5; 57; 64,5; 72;79,5; 87.5.Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku tengahdikurangi 5 maka terbentuk barisan geometri dengan rasio 2.Tentukan bilangan-bilangan tersebut.Penyelesaian:Misalkan barisan aritmetika adalah: p b, p, p b dan barisangeometri adalah: p b, p 5, p b dengan r 2Dra. Puji Iryanti, M.Sc.Ed. Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan Dan Notasi Sigma Di SMA11

Oleh karenap 5 p b 2 , dari sini diperoleh:p b p 5p 5 2p 2b p 2b 5 .1)2p 10 p b p b 10 .2)Persamaan 1) dikurangkan dengan 2) menghasilkan b 15.Selanjutnya diperoleh p 25.Jadi barisan aritmetika itu adalah 10, 20, 40.6. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilanganitu adalah 147 dan hasil kalinya adalah 21952. Tentukan barisangeometri tersebut!Penyelesaian:p, p , pr .r(diambil pemisalan seperti ini supaya ketika ketiganya dikalikandiperoleh persamaam dalam satu peubah)Hasil kali ketiga bilangan itu adalah p3 21952 p 2828 28 28r 147dengan demikianr 28 28r 28r2 147r 28r2 119r 28 0 4r2 17r 4 0 (4r 1) (r 4) 01 r atau r 441Untuk r , barisan bilangan adalah 112, 28, 7.4Untuk r 4, barisan bilangan adalah 7, 28, 112.Misalkan tiga bilangan itu adalahLatihan 1Tentukan penyelesaian soal-soal berikut ini!1. Seorang ayah memberikan uang saku harian yang berbeda-bedakepada lima anaknya. Uang saku seorang adik Rp 1000,00 kurang dariuang saku yang diterima kakak tepat di atasnya. Jika setiap hari ayah12Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

itu mengeluarkan Rp 17.500,00 untuk uang saku semua anaknya,berapakah uang saku harian anak ke-4?2.Suatu barisan aritmetika, suku ke-2 adalah 25 dan suku ke-11 adalah79. Berapa banyak suku barisan ini yang kurang dari 200?3.Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Hasil kalibilangan pertama dan keempat adalah 46, dan hasil kali bilangankedua dan ketiga adalah 144. Tentukan jumlah keempat bilangantersebut!4.Di antara bilangan-bilangan 8 dan 173 disisipkan 32 buah bilangansehingga terjadi barisan aritmetika. Tentukana. beda barisan itub. rumus suku ke-n(cobalah dulu pertanyaan a dan b untuk soal yang lebih sederhana,misalkan di antara 2 dan 8 disisipkan 2 bilangan, diantara 2 dan 11disisipkan 3 bilangan, dan seterusnya sehingga diperoleh kesimpulancara menentukan beda barisan)5.Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 150. Tentukan banyakbilangan yang:a. habis dibagi 4b. habis dibagi 6c. habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 66.Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilanganitu sama dengan 12. Jika bilangan ke-3 ditambah dengan 2 makaterbentuk suatu barisan geometri. Tentukan bilangan-bilangantersebut!7.Kekayaan seorang pedagang setiap 4 tahun menjadi lipat dua darijumlah sebelumnya. Kekayaan pedagang itu pada tahun 1997 adalahRp 200.000,00 Berapakah kekayaannya pada tahun 2021? (dianggapkeadaan ini berlaku sampai tahun itu dan pedagang itu masih hidup)8.Sebidang tanah berharga Rp. 20.000.000,00. Setiap tahun harga tanahitu naik 5% dari harga tanah tahun sebelumnya. Berapakah hargatanah itu pada tahun ke-8?9.Tiga bilangan membentuk barisan geometri yang hasil kalinya 1000.Jika jumlah tiga bilangan itu 35, tentukan bilangan-bilangan tersebut.Dra. Puji Iryanti, M.Sc.Ed. Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan Dan Notasi Sigma Di SMA13

10. Dari suatu barisan geometri diketahui jumlah suku pertama dan ke-6adalah 244 dan hasil kali suku ke-3 dan ke-4 adalah 243. Tentukanrasio dan suku ke-2.E.Barisan Selain Barisan Aritmetika dan GeometriAda banyak barisan bilangan yang dapat dipelajari, tetapi di SMA siswaminimal harus dapat menyelesaikan masalah yang berhubungandengan barisan aritmetika dan geometri. Jika dibutuhkan materipengayaan tentang barisan bilangan selain barisan aritmetika dangeometri, maka materi berikut ini dapat menjadi alternatif tambahan.Untuk menentukan suku-suku suatu barisan kita melihat keteraturanpola dari suku-suku sebelumnya. Barisan seperti 2, 4, 7, 11, . memilikiketeraturan karena beda suku ke-2 dengan pertama adalah 2, beda darisuku ke-3 dengan ke-2 adalah 3, beda suku ke-4 dengan ke-3 adalah 4.Perhatikan juga barisan 1, 2, 5, 12, 27, 58, . Beda suku ke-2 denganpertama 1, beda suku ke-3 dengan ke-2 adalah 3, beda suku ke-4 danke-3 adalah 7, beda suku ke-5 dan ke-4 adalah 15. Jika masing-masingbeda ini dibuat menjadi barisan baru dan dicari lagi selisih masingmasing suku, maka akan terlihat keteraturan barisan ini. Bagaimanamenentukan rumus suku ke-n barisan-barisan seperti ini? Salah satucara untuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan adalahmenggunakan konsep fungsi.1.Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan AritmetikaUntuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan seperti inicaranya adalah dengan memperhatikan selisih antara dua sukuyang berurutan. Bila pada satu tingkat pengurangan belumdiperoleh selisih tetap, maka pengurangan dilakukan pada tingkatberikutnya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan disebutberderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satutingkat pengurangan, disebut berderajat dua bila selisih tetapdiperoleh dalam dua tingkat pengurangan dan seterusnya.Bentuk umum dari barisan-barisan itu merupakan fungsi dalam nsebagai berikut:Selisih tetap 1 tingkat14f(n) an b atau un an bPaket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Selisih tetap 2 tingkatf(n) an2 bn catau un an2 bn cSelisih tetap 3 tingkatf(n) an3 bn2 cn datau un an3 bn2 cn dPerlu diperhatikan bahwa a dan b pada fungsi ini tidak samadengan a suku pertama dan b beda pada suku-suku barisanaritmetika yang dibicarakan sebelumnya.Untuk memahami pengertian barisan berderajat satu, berderajatdua, dan seterusnya perhatikan contoh berikut: Barisan 2, 5, 8, 11, disebut barisan berderajat satu karenaselisih tetap diperoleh pada satu tingkat pengurangan.253 833selisih tetap 3Barisan 5, 8, 13, 20, 29, disebut barisan berderajat duakarena selisih tetap diperoleh pada dua tingkat pengurangan.5813352 11, 20297922selisih tetap 2Barisan 2, 5, 18, 45, 90, disebut barisan berderajat tigakarena selisih tetap diperoleh pada tiga tingkat pengurangan.25318134527104514490184selisih tetap 4Untuk menentukan rumus suku ke-n masing-masing barisan itudilakukan dengan cara sebagai berikut:Dra. Puji Iryanti, M.Sc.Ed. Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan Dan Notasi Sigma Di SMA15

a. Barisan Linear ( Berderajat Satu)Bentuk umum un an b, jadi u1 a b, u2 2a b,u3 3a b, u4 4a b, dan seterusnya.(i)a b2a b3a ba(ii)4a b, aaRumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 8, 11, dapat ditentukandengan cara:(i)(ii)258311, 3(ii) a 3 3(i) a b 23 b 2 b –1 , sehinggadiperoleh un 3n –1b. Barisan Berderajat DuaBentuk umum un an2 bn c. Dengan demikian u1 a b c,u2 4a 2b c, u3 9a 3b c, u4 16a 4b c, danseterusnya. Identifikasi selisih tetapnya adalah sebagaiberikut:(i)(ii)a b c , 4a 2b c , 9a 3b c, 16a 4b c, 3a b5a b7a b2a(iii)2aRumus umum suku ke-n barisan 5, 8, 13, 20, 29, dapatditentukan dengan cara:(i)(ii)(iii)16581332052297292Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

(iii) 2a 2a 1 (ii) 3a b 3b 0 (i) a b c 5c 4, sehingga un n2 4c. Barisan Berderajat TigaBentuk umum barisan berderajat tiga un an3 bn2 cn d.Dengan demikian u1 a b c d, u2 8a 4b 2c d,u3 27a 9b 3c d, u4 64a 16b 4c d, danseterusnya. Identifikasi selisih tetapnya adalah:(i) a b c d , 8a 4b 2c d, 27a 9b 3c d, 64a 16b 4c d7a 3b c(ii)19a 5b c12a 2b(iii)37a 7b c18a 2b(iv)6aRumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 18, 45, 90, dapatditentukan dengan cara:(i)(ii)(iii)(iv)25318131045271449045184Dengan menyelesaikan persamaan (iv), (iii), (ii) dan (i)diperoleh2, b 1, c 14 dan d 5 sehingga rumus suku ke-n3312 314un n n2 –n 5 (2n3 3n2 14n 15)333a Dra. Puji Iryanti, M.Sc.Ed. Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan Dan Notasi Sigma Di SMA17

2. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan GeometriAda barisan yang setelah dicari beda antara dua suku berurutantidak juga diperoleh selisih yang tetap sampai beberapa kaliting

barisan dan deret aritmetika maupun geometri, karena konsep-konsep tersebut dianggap sudah dikuasai dan sebagai prasyarat untuk menyelesaikan masalah yang dibahas. Fokus paket ini pada masalah-masalah yang dihadapi para guru matematika SMA dalam materi Barisan, Deret Bilangan dan Notasi Sigma, khususnya tentang: 1.