Transcription

GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLIDBERDIMENSI NSKRIPSIDiajukan dalam rangka menyelesaikan Studi Strata Satuuntuk mencapai gelar Sarjana SainsOlehNama: M SOLIKIN ADRIANSAHNIM: 4150402019Program Studi: Matematika S1Jurusan: MatematikaFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2006

ABSTRAKM Solikin Adriansah, Garis dan Bidang Dalam Ruang Euclid Berdimensi N,Semarang, Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan IlmuPengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang 2006Sistem geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hingga sekolahmenengah merupakan suatu sistem geometri yang dikembangkan oleh Euclides,sehingga dinamakan Geometri Euclid atau dapat disebut dengan Geometri sepertiyang kita kenal sekarang. Meskipun pada tingkatan universitas diperkenalkansistem lain dari geometri yaitu geometri non-euclid.Gagasan digunakannya pasangan bilangan terurut lebih dari tiga atau dalamruang dimensi-3, karena para ahli matematika dan fisika menyadari bahwa tidakharus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa bahwa bilangan – bilangan gandaempat ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) dapat dikorespondensikan sebagai titik – titik dalam ruangdimensi-4 dan seterusnya.Garis dan bidang merupakan obyek yang cukup penting untuk dibahas danmenjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang seringdigunakan dalam geometri. Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihidimensi-3 dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnyadan bukan melalui sifat – sifat geometris.Simpulan dari penulisan ini adalah bahwa persamaan garis lurus (real line)ndi R merupakan suatu persamaan parametrik yang berbentuk X n a n α n t .Bidang datar dalam R n merupakan suatu bidang datar-n (hyperplane) yang2memiliki persamaan x , a a .ii

HALAMAN PENGESAHANiii

MOTTO dan PERSEMBAHANMOTTOª Ilmu itu lebih cantik dari mangkuk yang cantik,orangyangmenuntutilmuitulebihmanisdarimadu, dan ber’amal dengan ilmu yang dimiliki itulebih sulit dari meniti sehelai rambut. (Usman binAffan)ª Sebaik – baik isteri adalah jika kamu amentaatimu, dan jika kamu tinggal maka dia akanmenjaga untukmu harta dan dirinya. ( Ibnu Jahir)PERSEMBAHANª Bapak dan Mamah yang memberikandoa dan kasih sayangnya.ª M’Lel, Bekti, Drajat dan Ayu .ª Someone in Somewhere, Wait me.ª Adit,Pirlo,Bira,danPilar“capek”.ª Fina, Asih, Isti, Diana, Cahyadan Dewi.ª M’ Tamie dan Ida.ª Raras thanks for everything.ª Teman – teman ’02. Ayo berjuang!iv

KATA PENGANTARSegala puji hanya bagi ALLAH SWT atas segala limpahan rahmatdan hidayah-Nya, sehinggga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N “.Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagaipihak, oleh karena itu disampaikan ucapan terima kasih kepada:1. Prof. Dr. A. T. Soegito, SH, MM, Rektor Universitas Negeri Semarang.2. Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES.3. Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.4. Drs. Suhito, M. Pd, Dosen pembimbing utama yang telah membimbing danmemberikan masukan dalam penulisan skripsi.5. Drs. Amin Suyitno, M. Pd, Dosen pembimbing pendamping yang telahmembimbing dan memberikan masukan dalam penulisan skripsi ini.6. Bapak dan Mamah yang selalu mendoakan.7. Kakakku terima kasih atas bantuannya semoga aku dapat melakukan hal yangsama.8. Teman – teman angkatan 2002 yang memberikan semangat untuk terusberjuang dalam menyelesaikan skripsi ini.9. Semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu yang telahmembantu terselesaikannya skripsi ini.v

Bagaimanapun penulisan skripsi ini setidaknya dapat membantubagi pembaca, oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis menerimakritik dan saran. Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagipembaca.Semarang,September 2006Penulisvi

DAFTAR ISIHALAMAN JUDUL .iABSTRAK .iiHALAMAN PENGESAHAN .iiiMOTTO dan PERSEMBAHAN .ivKATA PENGANTAR .vDAFTAR ISI .viiBAB I PENDAHULUAN .1A. Latar Belakang Masalah .1B. Permasalahan .4C. Tujuan Penulisan .3D. Manfaat Penulisan .5E. Penegasan Istilah .6F. Sistematika Skripsi .7BAB II LANDASAN TEORI .10A. Ruang Linear .111. Ruang Linear .112. Ruang Bagian dari Ruang Linear .233. Ruang Linear Bernorma .234. Ruang Inner Product .25B. Ruang Vektor .121. Ruang Vektor .11vii

2. Hasil Kali Dalam dan Norm .23C. Ruang Metrik .13BAB III METODE PENELITIAN .20A. Kajian Pustaka .11B. Perumusan Masalah .12C. Pemecahan Masalah .23D. Penarikan Simpulan .56BAB IV PEMBAHASAN .40A. Titik .11B. Garis Lurus Real .121. Persamaan Garis lurus-n .222. Sudut Antara Dua Garis Lurus-n .333. Jarak Titik terhadap Garis Lurus-n .364. Jarak Antara Dua garis Lurus-n .36C. Bidang Datar-n .131. Persamaan Bidang Datar-n .222. Persamaan Hesse Bidang Datar-n .333. Jarak Titik terhadap Bidang Datar-n .234. Kedudukan Dua Bidang Datar-n .23BAB V PENUTUP .45A. Simpulan .11B. Saran .22DAFTAR PUSTAKA .22viii

BAB IPENDAHULUANA.Latar Belakang MasalahKata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ukuran bumi “. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi.Geometri kuno sebagian dimulai dari pengukuran praktis yang diperlukanuntuk pertanian orang-orang Babylonia dan Mesir. Kemudian hal tersebutdiperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volum. Hasilhasil ini sering dinyatakan sebagai deret arimetika yang secara empiristidak benar (Wallace dalam Mulyati, 1).Menurut tradisi, mempelajari geometri penting karena geometritelah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Denganberjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yangdisusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dariserangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang,dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometridimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi,aksioma-aksioma, postulat-postulat dan selanjutnya mpunyaibanyakpenerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah,pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lainsebagainya.

2Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalamgeometri beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudianditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistemseperti ini disebut sistem deduktif. Geometri mengenalkan tentang idekonsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang hidup.Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama digunakan kata yanglebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannyadidefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga padaakhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisiharus menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, inidikarenakan agar artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengankata lain dapat disebut dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term).Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah takterdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsepgaris dan bidang sering digunakan dalam geometri. Misalnya adalahperpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah garis yangterletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Kubus, balok dan lainsebagainya merupakan kumpulan dari bidang – bidang, walaupun bidangmerupakan perpotongan dari beberapa garis. Dari contoh di atas dapatdipahami bahwa garis dan bidang merupakan faktor dasar geometri,tentunya dengan tidak melupakan bahwa titik juga merupakan dasar darigeometri.

3Sistem dari geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hinggamenengah merupakan geometri yang didasarkan atas postulat ataupunaksioma yang dikemukakan oleh Euclides yang biasa disebut geometrieuclid, meskipun pada tingkat universitas diperkenalkan sistem lain darigeometri yaitu geometri non-euclid. Gagasan digunakannya pasanganbilangan terurut lebih dari tiga, karena para ahli matematika dan fisikamenyadari bahwa tidak harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwabilangan ganda empat( a1 , a 2 , a 3 , a 4 )ruang dimensi-4, ganda limadapat dianggap sebagai titik pada( a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 )sebagai titik pada ruangdimensi-5 dan seterusnya. Walaupun visualisasi geometrik tidak melebihiruang dimensi tiga.Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi dimensi-3dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnya danbukan melalui sifat – sifat geometris. Dari latar belakang di atas makajudul dari skripisi ini adalah GARIS DAN BIDANG DALAM RUANGEUCLID BERDIMENSI NB.PermasalahanPermasalahan yang dikaji dalam penulisan ini adalah1.Bagaimana bentuk dari persamaan garis lurus-n dan bidang datar-n?2.Bagaimana persamaan kedudukan dua garis lurus-n dan dua bidangdatar-n?

43.Bagaimana persamaan sudut dua garis lurus-n dan dua bidang datarn?4.Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-ndan jarak antara dua garis lurus-n?5.Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan bidang datarn?C.Tujuan PenulisanTujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui persamaan darigaris lurus-n dan didang datar-n serta relasi yang terkait dengan gair lurusn dan bidang datar-nD.Manfaat PenulisanDari hasil penulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagaisumbangan pemikiran bagi mahasiswa Universitas Negeri Semarang,khususnya Jurusan Matematika yang ingin mengembangkan penulisan ini.E.Penegasan Istilah1. GarisSebuah garis (garis lurus) dapat dibayangkan sebagai kumpulandari titik – titik yang memanjang secara tak terhingga ke kedua arah.( Kohn, 2003 : 4 )

52. BidangSebuah bidang dapat dianggap sebagai kumpulan titik yangjumlahnya tak terhingga yang membentuk permukaan rata yangmelebar ke segala arah sampai tak terhingga.( Kohn, 2003 : 4 )3. Ruang Euclid Dimensi NJika n bilangan bulat positif maka himpunan dari n bilangan real(x 1 ,x 2 ,.,x n ) adalah sebuah titik atau vektor pada dimensi n yangdinotasikan dengan R n { (x1 , x 2 , . , x n ) x1 , x 2 , . , x n R }. Ruanglinear R n dan ruang vektor R n yang dilengkapi oleh suatu innerproduct dan dinotasikan dengan{Rn, x,y} disebutruang Eucliddimensi n (Euclidean n-space).( Ruckle, 1961 : 31 )F.Sistematika SkripsiBab IPendahuluanBab ini berisi tentang latar belakang masalah, penegasan istilah,permasalahan, tujuan, manfaat dan sistematika dari penulisanskripsi.Bab II Landasan TeoriPada bab ini berisi pokok-pokok, dasar-dasar dan teorema yangakan digunakan sebagai pedoman dalam pembahasan.

6Bab III Metode dalampenyusunan skripsi ini.Bab IV PembahasanBab ini berisi garis dan bidang yang terdiri dari persamaan garisdan bidang, kedudukan dua garis dan dua bidang serta jarak garisdan bidang dalam ruang Euclid berdimensi nBab V PenutupBab ini beisi simpulan dan saran yang diperoleh dari hasilpembahasan.

BAB IILANDASAN TEORIA.Ruang Linear1. Ruang LinearDefinisi A.1Sebuah ruang linear atas lapangan F adalah sebuah himpunanE yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan E E E danoperasi perkalian F E E dimana kedua operasi tersebut harusmemenuhi aksioma-aksioma berikut.a. Untuk semua x, y, z di E berlaku x (y z ) (x y ) z.b. Untuk semua x,y di E berlaku x y y x.c. Ada elemen identitas 0 di E sehingga x 0 x untuk setiap x di E.d. Untuk semua x di E, ada elemen –x di E sehingga x (- x ) 0 .e. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku a (bx ) (ab )x.f. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku (a b )x ax bx.g. Untuk semua a di F dan x, y di E berlaku a (x y ) ax ay.h. Untuk semua x di E berlaku 1x x.( Ruckle, 1961 : 31 )

8Contoh A.1.1Selidiki apakah Rn dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakanruang linear atas lapangan R.Penyelesaian :Rn R R R . R { (x , x12,., x n ) x 1 , x 2 ,., x n R}.Ambil sembarang x (x 1 , x 2 ,., x n ), y (y 1 , y 2 ,., y n ) dan z ( z 1 ,z 2 ,., z n ) R na). Jelas x (y z) (x 1 , x 2 ,., x n ) (y 1 , y 2 ,., y n z 1 , z 2 ,., z n ) (x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 , . , x n y n z n ) (x 1 y 1 , x 2 y 2 , . , x n y n ) (z 1 , z 2 ,., z n ) (x y) z .b). Jelas x y (x 1 , x 2 ,., x n ) (y 1 , y 2 ,., y n ) (x 1 y 1 , x 2 y 2 ,., x n y n ) (y 1 x 1 , y 2 x 2 ,., y n x n ) y x .c). Pilih 0 (0 1 , 0 2 ,., 0 n ) R nJelas x 0 (x 1 , x 2 ,., x n ) (0 1 , 0 2 ,., 0 n ) 0 (x 1 , x 2 ,., x n ) x.d). Pilih (-x 1 , -x 2 ,., -x n ) R nJelas x ( x ) (x 1 , x 2 ,., x n ) (-x 1 , -x 2 ,., -x n ) (x 1 - x 1 , x 2 - x 2 ,., x n - x n ) 0.

9Ambil sembarang a, b Re). a (bx ) a (bx1 , bx 2 ,., bx n ) a (b(x1 , x 2 ,., x n )) (ab )x .f). (a b )x (a b ) (x 1 , x 2 ,., x n ) a (x 1 , x 2 ,., x n ) b (x 1 , x 2 ,., x n ) ax bx.g). a(x y) a { (x1 , x 2 ,., x n ) (y1 , y 2 ,., y n ) } a (x 1 , x 2 ,., x n ) a (y 1 , y 2 ,., y n ) ax ay.h). 1x 1(x 1 , x 2 ,., x n ) (x 1 , x 2 ,., x n ) xJadi (x 1 , x 2 ,., x n ), (y 1 , y 2 ,., y n ) dan ( z 1 , z 2 ,., z n ) R n dan a , b R maka Rn merupakan ruang linear atas R.2. Ruang Bagian dari Ruang LinearJika V ruang linear atas F. Jika B φ dan B V. B dengan sifat,untuk setiap vektor x , y di V dan skalar α, β di F berlaku αx βy di Bmaka B disebut ruang bagian dari ruang linear.( Wuryanto, 2003 : 36 )

10Contoh A.1.2Tunjukan untuk setiap bilangan asli m, n dengan m n maka Rmmerupakan ruang bagian dari ruang linear terhadap Rn.Penyelesaian :Dipunyai Rm R R R . R { (x , x12,., x m ) x 1 , x 2 ,., x m R }.Ambil sembarang x (x 1 , x 2 ,., x m ), y (y 1 , y 2 ,., y m ) R m dan ambilsembarang skalar α, β di RJelas Rm merupakan ruang vektor atas Rn sendiri dan untuk setiap x, y diRm dan a, b di R sehingga berlakuα(x 1 , x 2 ,., x m ) β(y 1 , y 2 ,., y m ) (α x 1 β y 1 , α x 2 β y 2 , . , α x m β y m ) Rn.Jadi Rm merupakan subruang dari Rn.3. Ruang Linear BernormaDipunyai V ruang Linear atas R. Jika terdapat fungsi . :V Ryang memenuhi :a.αx α xb.x 0 dan x 0 x θ dengan θ vektor nol di Vc.x y x ymaka fungsi . disebut norma pada V.( Wuryanto, 2003 : 36 )

11Contoh A.1.312 n 2 Di punyai fungsi R R yang didefinisikan x x i untuk setiap i 1 nvektor x (x 1 , x 2 ,., x n ) Rn adalah suatu norm pada ruang euclid Rn.Tunjukkan fungsi tersebut merupakan suatu norm pada ruang euclid Rn?Penyelesaian :Ambil sembarang vektor x (x 1 , x 2 ,., x n ), y (y 1 , y 2 ,., y n ),z (z 1 ,z 2 ,., z n ) R n dan skalar α R memenuhi:a. Jelas αx α x n2 Karena αx αx i i 1 12n 2 α 2 x i i 1 n 2 α xi i 1 b.1212 α x n 2 x 0 dan x 0 x 0 sebab, x x i i 1 12 0.( ) jika x 0 maka x i 0 untuk setiap i (i 1, 2,.,n), yang berakibat12 n 2 x x i 0. i 1 12n( ) jika x 0 maka dipunyai 0 x x i 2 , sehingga untuk i 1 2setiap i dan 1 i n, haruslah xi 0 yang berakibat x i 0. Karenax i 0 untuk setiap i (i 1, 2,.,n) ini berarati x 0.

12c.x y x y .Ditunjukan sebagai berikutKarena untuk setiap i (i 1, 2,.,n) berlaku(x i yi )2 (x i yi )(x i yi ) (x i yi )((x i ) (yi )) (x i yi )x i (x i yi )yimaka dengan memanfaatkan teorema Cauchy-Shcwarstz didapatn (xi 1nni 1i 12i y i ) (x i y i )x i (x i y i )y i12121212nn n n2 2 2 2 (x i y i ) x i (x i y i ) y i i 1 i 1 i 1 i 1 dalam hal x i y i 0 maka diperoleh n2 (x i y i ) 1212nn i 1 x 2 y 2 i i12i 1 i 1 n2 (x i y i ) i 1 12 n2 (x i y i ) i 1 12 n 2 xi i 1 12 n 2 yi i 1 Dengan kata lain diperoleh x y x y .Berdasarkan ketiga point a, b dan c maka fungsi Rn R yang12 n 2 didefinisikan x x i untuk setiap vektor x (x 1 , x 2 ,., x n ) Rn i 1 adalah ruang linear bernorma.

134. Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space)Dipunyai V ruang linear atas lapangan real R. Jika terdapatfungsi, :V V R sehingga untuk setiap vektor x,y,z V danskalar α R memenuhi:a.x, y y, xb.αx, y α x, yc.x, y z x, y x, zd.x, x 0 dan x, x 0 x θ (θ vektor nol di V)Sehingga , merupakan ruang inner product.( Wuryanto, 2003 : 36 )Contoh A.1.4nR n terhadap perkalian titik yang didefinisikan x, y x i y i merupakani 1ruang inner product. Ditunjukan bahwa perkalian titik tersebut adalahsuatuinnerproduct.DibentukR n R n R yangfungsi , darindidefinisikan x, y x i y i untuk setiap vektor x (x 1 ,x 2 ,.,x n ), y i 1(y 1 , y 2 ,., y n ) di R n . Fungsi tersebut merupakan suatu inner productpada R n sebab, untuk setiap vektor x (x 1 ,x 2 ,.,x n ), y (y 1 , y 2 ,., y n )di R n dan skalar real α memenuhi:nni 1i 1a. Jelas x, y y, x oleh sebab, x, y x i y i y i x i y, x .

14b. Jelas αx, y α x, y oleh sebab,nni 1i 1αx, y αx i yi α x i y i α x, y .c. Jelas x, y z x, y x, znnnni 1i 1i 1i 1karena x, y z x i (y i z i ) (x i y i x i z i ) x i y i x i z i x, y x, z .d.nx, x 0 oleh sebab x, x x i 0.2i 1Jadi berdasarkan a, b dan c maka R n terhadap perkalian titik yangndidefinisikan x, y x i y i untuk i 1, 2, . , n.i 1B.Ruang Vektor1. Ruang VektorDefinisi B.1Sebuah ruang vektor V adalah sebuah himpunan dari objek x, y,z, . yang disebut vektor. Satu vektor yang dikenal dinamakan vektornol yang dinotasikan dengan θ. Untuk setiap vektor x dimana dikenalsebuah vektor –x, dinamakan invers dari x. Aksioma – aksioma yangmengikuti agar asumsi dari ruang vektor terpenuhi adalaha. Untuk setiap sepasang vektor x, y dimana penjumlahan vektor darix, y dinotasikan x y. Penjumlahan dari vektor harus memenuhi:i).x y y x.

15ii). ( x y ) z x ( y z ).iii). x 0 xiv). x (- x ) 0.b. Untuk setiap skalar k dan setiap vektor x dimana perkalian vektordari x oleh k dinotasikan kx. Perkalian vektor oleh skalar harusmemenuhi:i). k( x y ) k x k yii). (k j) x k x j xiii). (kj) x k(j x )iv). 1 x xPada b.i) simbol memiliki dua arti yaitu untuk penjumlahanskalar dan vektor. Pada b.iii) memiliki dua arti yaitu perkalian duaskalar atau perkalian sebuah skalar dan sebuah vektor.( Berberian, 1961 : 1 )Contoh B.1.1Tunjukan R n merupakan ruang vektor.Penyelesaian :Ambil sembarang x (x 1 , x 2 ,., x n ), y (y 1 , y 2 ,., y n ) dan z (z 1 ,z 2 ,., z n ) R n(a) Jelas x y (x 1 , x 2 ,.,x n ) (y 1 , y 2 ,.,y n )

16 (x 1 y 1 x 2 y 2 . x n y n ) (y 1 x 1 y 2 x 2 . y n x n ) (y 1 , y 2 ,.,y n ) (x 1 , x 2 ,.,x n ) y x.(b) ( x y ) z ( (x1 , x 2 ,., x n ) (y1 , y 2 ,., y n ) ) (z1 , z 2 ,., z n ) ( (x1 , x 2 ,., x n ) (y1 , y 2 ,., y n ) (z1 , z 2 ,., z n ) ) (x1 , x 2 ,., x n ) ( (y1 , y 2 ,., y n ) (z1 , z 2 ,., z n ) ) x ( y z ).(c) Pilih 0 (0 1 , 0 2 ,., 0 n ) R nJelas x 0 0 x (0 1 , 0 2 ,., 0 n ) (x 1 , x 2 ,., x n ) x .(d) Pilih x (-x 1 , -x 2 ,., -x n ) R n( )Jelas x - x (x 1 , x 2 ,., x n ) (-x 1 , -x 2 ,., -x n ) (x 1 - x 1 , x 2 - x 2 ,., x n - x n ) 0.Ambil sembarang k, j R(e) k( x y ) k { (x1 , x 2 ,., x n ) (y1 , y 2 ,., y n ) } k (x 1 , x 2 ,.,x n ) k (x 1 , x 2 ,.,x n ) k x k y .(f) (k j) x (k j) (x 1 , x 2 ,.,x n ) k (x 1 , x 2 ,.,x n ) j (x 1 , x 2 ,.,x n ) kx jx.

17(g) (kj) x (kj) (x 1 , x 2 ,.,x n ) k ( j (x1 , x 2 , . , x n )) k(j x ).(h) 1 x 1 (x 1 , x 2 ,.,x n ) (x 1 , x 2 ,.,x n ) x .Karena aksioma ruang vektor R n dipenuhi, maka R n merupakan ruangvektor.Teorema B.1Jika x , y , z adalah vektor-vektor dalam R n dan k adalahsebarang skalar, maka:a.x . y y . xb.(x y) . z x . y y . zc.(k x ) . y k( x . y )d.x . x 0. Selanjutnya x . x 0, jika dan hanya jika x 0Bukti :Ambil sembarang x (x 1 ,x 2 ,.,x n ), y (y 1 , y 2 ,., y n ) dan w (w 1 ,w 2 ,., w n )(a). Jelas x . y x 1 y 1 x 2 y 2 . x n y n y 1 x 1 y 2 x 2 . y n x n y. x(b). Jelas ( x y ) . z (x 1 y 1 , x 2 y 2 , . , x n y n ) . (z 1 , z 2 ,., z n ) (x 1 y 1 ) z 1 (x 2 y 2 ) z 2 ,.,( x n y n ) z n

18 (x 1 z 1 x 2 z 2 . x n z n ) (y 1 z 1 y 2 z 2 . y n z n ) x .z y .z(c). Jelas (k x ) . y (kx 1 , kx 2 , . , kx n ) . (y 1 , y 2 , . , y n ) k(x 1 , x 2 , . , x n ) . (y 1 , y 2 , . , y n ) k(x 1 y 1 x 2 y 2 . x n y n ) k( x . y )(d). Kita mempunyai x . x x12 x 22 . x nn 0 . Selanjutnyakesamaan tersebut benar jika dan hanya jika x1 x 2 . x n 0 ,yaitu jika dan hanya jika x 0.2. Hasil Kali Dalam (Inner Product) dan NormDefinisi B.2Jika V suatu ruang vektor, maka inner product adalah fungsi dariV VkeR,didefinisikandenganmemenuhi aksioma berikut.a.x , y 0 , x V.b.x , x 0 jika dan hanya jika x 0 .c.x , y y . x x , y V.d.x y , z x , z y , z x , y , z V.e.a x, y a x, y x, a y .( x , y ) x, y , x , y V

19Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam (innerproduct) dinamakan ruang hasil kali dalam.( Rochmad, 2000 : 24 )Contoh B.1.2kR n terhadap perkalian titik yang didefinisikan x . y x i y i merupakani 1ruang hasil kali dalam. Ditunjukkan perkalian titik tersebut adalah suatuinner product. Dibentuk suatu fungsi R n R n R yang didefinisikanx , y x. y untuk setiap vektor x (x 1 ,x 2 ,.,x n ), y (y 1 , y 2 ,., y n ) danskalar a di R n maka fungsi tersebut merupakan suatu inner product sebabmemenuhi aksioma dari ruang inner product.Buktia.x , y y . x sebab x , y x . y ki 1b.k x y y xiii 1ii y. x y , x .a x , y a x , y sebab,()kki 1i 1( )a x , y a x.y a x i y i a x i y i a x.y a x , y .c.x y , z x , z y , z sebab()kki 1i 1x , y z x. y z x i (y i z i ) (x i y i x i z i )kki 1i 1 x i yi x i zi x.y x.z x.y x.z

20d. Jelas x , x (x.x ) 0 jika dan hanya jika x 0 .e.kx , y 0, andaikan x bukan vektor nol karena x , x x.x x i2 0i 1kJadi R n perkalian titik yang didefinisikan x . y xi yi merupakan ruangi 1hasil kali dalam.Definisi B.3Jika V suatu ruang vektor, maka norm pada V adalah fungsi dariV ke R dinyatakan dengan x x yang memenuhia.x 0 dan x 0 x θ dengan θ vektor nol di V.b.α x α xc.x y x yRuang vektor yang dilengkapi dengan norm dinamakan ruangbernorm. Panjang suatu vektor x sering disebut sebagai norm x dandinyatakan dengan x x , x12 x, x( Rochmad, 2000 : 24 )Teorema B.2 ( Ketaksamaan Cauchy – Schwartz )Misalkan V suatu ruang inner product dalam R. Untuk setiapvektor x dan y di V berlaku x , y x y .Bukti:a. Untuk y 0 dipunyai x , y 0 x y .

21b. Untuk y 0Ambil vektor y dengan y 1 dan vektor z x x , y y2Sehingga didapat 0 z z, z x x , y y, x x , y y x, x x, yDiperoleh x , y222 x x, y xUntuk vektor y dengan y 0, sehingga diperoleh. x,yy x atau x, y x yJadi teorema diatas terbukti.Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy – Schwartz diatasdapat didefinisikan cosinus sudut antara dua vektor. Misalkan x , y diR n maka bilangan cos θ x, yx . ydisebut cosinus sudut antara vektorx dan vektor y dan θ disebut sudut antara vektor x dan vektor yDari pengertian cosinus sudut diatas dapat didefinisikan, jika duavektor x dan y dikatakan saling tegak lurus jika x , y 0 .

22Telah diketahui jika dua vektor di R n tetap dapat dilihat sebagaidua vektor yang terletak dalam sebuah bidang di R n . Maka dari itudipunyai teorema sebagai berikut.Teorema B.3 (Ketaksamaan Segitiga)Misalkan x dan y dua vektor yang terletak di R n . Maka berlakux y x yBukti:Dengan menggunakan teorema B.2 diperoleh2x y x y . x y x.x 2 x.y y.y x . x 2 x . y y.y2 x 2 x . y y2(Atau x y x y2)2Dengan mengambil akarnya diperoleh ketaksamaan segitiga.Definisi B.4Dua titik (vektor) x,y R n dikatakan searah (sejajar) jika adabilangan k R, k 0 sehingga y kx. Dengan kata lain x dan y takbebas linear. Pasangan n bilangan real {α 1 , α 2 ,., α n } disebut bilanganarah vektor x 0 jikaα1 : α 2 : Λ : α n x 1 : x 2 : Λ : x n .

23Dengan kata lain, ada bilangan l (αx21 α 2 . α n22)12Sehingga, terdapat vektor α (α 1 , α 2 ,., α n ) yang komponennyaterdiri dari bilangan arah vektor x yang disebut vektor arah bagi vektorx. Secara khusus, pasangan n bilangan real {λ1 , λ 2 ,., λ n } disebutcosinus arah vektor x jika λk cosθk x, ekx ek x, ekxuntuk setiap k 1, 2, . , n dan (θ1 , θ 2 ,., θ n ) disebut sudut arah vektor x.Teorema B.4Jika (λ1 , λ2 ,., λn ) cosinus arah vektor x 0 makan λk 12k λ1 λ2 . λn l.222Bukti :Diketahuinx x, e k e kdengank 1(e1 , e 2 ,., e n )denganorthonormal standart pada R n , didapatx2 x, x n k 1nnx, e k e k , x, e k e k x, e kk 12k 1 x, e kKarena x 0 ( x 0 ) diperoleh l xk 1 n2n (λ1 )2 k 1 basis

24Ataun λk 12k λ1 λ2 . λn l.222Selanjutnya vektor λ {λ1 , λ 2 ,., λ n } disebut vektor cosinus arah bagivektor x.Jika vektor λ {λ1 , λ 2 ,., λ n } merupakan vektor cosinus arah, makaλ l.Jadi untuk setiap x R n , x 0 berlaku x1 : x 2 : . : x n λ1 : λ2 : . : λn .Selanjutnya ada bilangan h sehinggax1λ1 x2λ2 . xnλn h , denganh x .Dari pemahaman tersebut diatas, disimpulkan sebagai berikut:(a). Dua titik (vektor) x, y R n searah (sejajar) jika dan hanya jika xdan y mempunyai sudut arah yang sama jika dan hanya jikabilangan arah x sebanding dengan bilangan arah y.(b). Terlihat bahwa (vektor) x R n mempunyai banyak sekalibilangan arah, tetapi setiap dua bilangan arah sebanding. Olehkarena itu, jika vektor x (x 1 , x 2 ,.,x n ) dengan salah satubilangan arahnya adalah (α 1 , α 2 ,., α n ) dan cosinus arah vektor xadalah {λ1 , λ 2 ,., λ n } dengan λk cos θ k α , ekλ k berartiαα ekα1 : α 2 : Λ : α n λ1 : λ2 : Λ : λn .

25Definisi B.5Himpunan x {x1 , x 2 ,., x k } R n dari ruang inner productdisebut himpunan orthonormal jika himpunan tersebut adalahhimpunan orthogonal dan x i 1, i di x.( Arifin, 2001 : 106 )Definisi B.6Himpunan x {x1 , x 2 ,., x k } R n dengan x i 0 dari ruang innerproduct disebut himpunan orthogonal jika x i y j , untuk setiap i j.( Arifin, 2001 : 106 )Teorema B.5Setiap himpunan orthogonal, bebas linearBukti:Bentuk α1x1 α 2 x 2 . α n x n 0, dengan α1 , α 2 ,., α n R .Ambil sembarang Li, dengan (1 i n ) , diperoleh:x (i ) , α1x (1) α 2 x (2 ) . α n x (n ) x,0 0Karenax (i ) , x j 0, untuk i j dan x (i ) , x ( j) x (i )22 0, untuk i j.Diperoleh α i x (i ) 0 dan berakibat α i 0 untuk L diatas.Karena i sembarang, diperoleh α1 , α 2 ,., α n 0{}Dengan kata lain x (1) , x (2 ) ,., x (n ) bebas linear.

26Akibat dari teorema B. 5Setiap himpunan orthonormal bebas linear.Bukti:Bentuk himpunan ort

ruang dimensi-4, ganda lima ( a1, a2, a3, a4, a5) sebagai titik pada ruang dimensi-5 dan seterusnya. Walaupun visualisasi geometrik tidak melebihi ruang dimensi tiga. Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi dimensi-3 dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sif