Transcription
Sistem Persamaan Lanjar dan Matriks dalam ReaksiKimiaFriska 135140421Program Studi InformatikaSekolah Teknik Elektro dan InformatikaInstitut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, m Persamaan Lanjar memiliki banyakaplikasi dalam berbagai cabang ilmu. Salah satu penerapanyang sangat dibutuhkan adalah dalam penentuan reaksikimia. Dasar – dasar ilmu kimia yang krusial adalah dalammenentukan dan menyetarakan reaksi. Dasr tersebut bisaberkanjut ke perhitungan stokiometri, berlanjut kepadapenelitian unsur, dan lainnya. Sistem persamaan lanjardapat dibuat dalam bentuk matriks, untuk kemudianditentukan solusinya.Kata Kunci—gauss, matriks, reaksi, sistem persamaanlanjarI. PENGANTARDewasa ini ilmu kimia mendapat perhatian besarkarena semakin dibutuhkan dalam kehidupan. Kimiamemegang peranan besar dalam perkembangan zaman.Secara umum, dengan ilmu kimia manusia bisamelakukan pencampuran zat yang memberikan suatuproduk yang diharapkan. Ilmu kimia juga dapat dipakaiuntuk menganalisis kondisi lingkungan mengingat semuaunsur dalam bumi ini pasti tersusun atas suatu materi,yang mana materi tersebut dalam skala terkecilnya dapatdipelajari oleh kimia.Bagian dasar dalam kimia adalah reaksi kimia. Reaksikimia dipelajari oleh berbagai kalangan, mulai daripelajar SMP / SMA sampai peniliti dan ahli sains. Reaksikimia mengalami sejarah yang panjang hingga akhirnyamemilikipenulisansepertisekarang:. Dapat diperhatikanbahwa diperlukan nilai pada senyawa baik reaktanmaupun produk. Nilai tersebut adalah koefisien yangperlu ditentukan. Koefisien tersebut melambangkanjumlah molekul dalam reaksi, yang harus sama padareaktan dan produknya. Sistem persamaan lanjardiaplikasikan untuk menentukan koefisien tersebut.Mengingat sistem persamaan lanjar bisa diterapkanmenjadi matriks, maka penggunaan matriks danpenerapan metode gauss akan membantu dalammenemukan koefisien tersebut.II. TEORI YANG BERKAITANA. Sistem Persamaan LanjarSistem persamaan lanjar terdiri dari gabungan satu ataulebih persamaan lanjar. Persamaan sendiri adalah suatucara menyatakan ekspresi matematika, yang mana dalamekspresi itu termuat tanda ‘ ’, variabel, konstanta, danoperasi matematika lain sepertidan lainnya.Disebut lanjar karena variabel yang terkandung dalampersamaan – persamaan dalam sistem tersebut palingtinggi (maksimal) memiliki pangkat 1.Dalam sebuah sistem persamaan lanjar, umumnyamanusia berusaha menentukan solusi yakni menentukannilai dari variabel yang memenuhi sistem persamaantersebut. Cara menyelesaikannya secara umum dibagimenjadi dua metode yakni metode langsung dan metodetak langsung. Pada metode langsung, manusia melakukanberbagai operasi misalnya elimninasi untuk mencari solusidari sistem persamaan tersebut. Pada metode taklangsung, dicari hampiran dari penyelesaian awal,kemudian hampiran tersebut yang diproses (diperbaiki)dalam tak berhingga.Penulisan persamaan lanjar adalah sebagai berikutDapat dimisalkan penulisan sistem persamaan lanjarsebagai berikutPada bentuk tersebutadalah variabel,adalah koefisien dari variabel.Koefisien adalah suatu nilai yang menjadi pengali padavariabel yang ditempelnya. Sedangkanadalahkonstanta. Dalam sistem ini umumnya ditujukan untukmencari nilai dari.Ada tiga kemugkinan solusi sistem persamaan lanjar:unik, banyak, dan tidak memiliki solusi.Dapat digunakan metode eliminasi untuk menentukannilai tersebut. Eliminasi dilakukan dengan caramembandingkan dua buah persamaan dan berusahamenghilangkan suatu variabel, sehingga pada akhirnyadapat ditemui suatu variabel beserta nilai-nya (nilaidiperoleh dari konstanta). Meski cukup sederhana,Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
eliminasi tidak selalu menjadi metode yang palingmenguntungkan. Contoh keadaan eliminasi menjadicukup sulit adalah bila ada banyak variabel yang terlibatdalam persamaan. Manusia harus menghilangkan satupersatu variabel dan setelah melewati langkah yangpanjang barulah ditemukan solusi.Sistem persamaan lanjar dapat dituliskan ke dalambentuk matriks. Matriks sendiri adalah suatu fasilitasbantuan dalam matematika yang bisa digunakan untukmenentukan solusi dari permasalahan lanjar.antara koefisien, variabel, dan konstanta. Seluruhkoefisien ditempatkan pada sebuah matriks, yang manasatu kolom mewakili satu variabel dan satu baris mewakilisatu persamaan. Setelah itu, daftar variabel diletakkandalam satu kolom (terpisah degan matriks koefisien).Berikan tanda sama dengan ‘ ’, lalu pada ruas kiri samadengan diberikan hasil dari persamaan yang dituliskan kebawah. Sebagai contoh, sistem persamaan lanjar padabagian sebelumnya diubah menjadi bentuk matriks. Makauntuk bentukB.MatriksMatriks adalah suatu susunan bilangan yang diaturdalam baris dan kolom, Bilangan – bilangan dalamsusunan itu disebut elemen dari matriks. Suatu matriksdiberi nama dengan menggunakan huruf kapital sepertiA,B,C sedangkan anggotanya dituliskan dalam huruf kecildengan notasi alamat pada matriks tersebut, yangmana i menyatakan indeks baris letak unsur tersebut dan jmenyatakan indeks kolom letak unsur tersebut. Baris padamatriks adalah sebutan untuk elemen matriks dalamletaknya secara horizontal, sedangkan kolom adalahsebutan untuk elemen matriks dalam letaknya secaravertikal. Bentuk umum matriks adalah sebagi berikut:Dalam bentuk umum tersebut m adalah banyaknya barissedangkan n adalah banaknya kolom. Dapat diperhatikancontoh penulisan matriks berikutA Dapat dilihat bahwa a dan b, c dan d terletak pada barisyang sama; a dan c, b dan terletak pada kolom yangsama. Adapun jumlah baris dan kolom pada matriks tidakharus selalu sama, jumlah tersebut menentukan bentukmatriks. Bila baris dan kolom tidak sama, maka matikstersebut menjadi matriks persegipanjang, sedangkan bilasama menjadi matriks persegi.Masih ada beberapa jenismatriks lainnya seperti matriks identitas, matriks nol,matriks skalar dan lainnya. Matriks yang lebih dibahaspada makalah ini adalah matriks segitiga atas dan matrikseselon mengingat keduanya berkaitan dengen pencariansolusi yang akan lebih dibahas pada bagian eliminasigauss. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yangsemua unsur di bawah diagonal utamanya nol [2].Contoh:A Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yangsemua unsur diatas diagonal utamnya nol[2].Contoh:Matriks biasa dapat diubah menjadi matriks eselonmelalui metode gauss. Tujuan pengubahan menjadimatriks eselon adalah untuk menentukan solusi dari sistmpersamaan lanjar. Sistem persamaan lanjar dapatdituliskan ke dalam bentuk matriks dengan dipisahkanA B Matriks gabungan A dan B disebut sebagai matriksaugmented dari sistem persamaan lanjar. Matriks inilahyang menjadi matriks yang digunakan dalam perhitunganmetode gauss.Metode gauss pada intinya berusaha mengubah matriksbisa menjadi matriks segitiga atas dengan operasi bariselementer. Bentuk segitiga tersebut dapat diselesaikandengan sulih mundur. Operasi barus elementer terdiri darimenukar dua buah baris pada matriks, mengalikan sebuahbaris dengan suatu nilai (nilai tidak boleh nol), danmenambah dua buah baris (atau dengan kelipatan suatubaris). Langkah – langkah untuk melakukan eliminasiadalah berikut: hilangkan variabel dari persamaan yangbukan persamaan pertama. Tujuannya adalah menyisakanhanya sebuah pada persamaan pertama sehinggamenuju ke arah matriks eselon. Setelah itu, dilakukan jugaeliminasi pada persamaan lainnya, pada variabel x yanglain sehingga terbentuk matriks eselon. Proses bisadilakukan melalui OBE hingga terwujud matriks eselon.Matriks eselon adalah matriks yang pada setiap baris,angka pertama selain 0 harus 1. Baris 0 harus terletakpada baris akhir matriks. Angka 1 pada baris di bawahbaris yang memiliki angka 1 utama harus lebih kanan.Setelah terjadi matriks eselon, dapat dilihat solusi darimatriks tersebut.solusi uniksolusi banyaktidak ada solusiGambar 1. Solusi MatriksC.Reaksi KimiaReaksi kimia terjadi saat satu atau lebih zat mengalamiperubahan menjadi zat baru, dengan keterangan zat barutersebut memiliki sifat yang berbeda dari zatpenyusunnya. Ilmu pengetahuan telah memungkinkanmanusia untuk mengira produk apa yang tercipta daripersamaan reaksi dengan mempelajari pengelompokanreaksi.Reaksi kimia dituliskan dengan notasi berikutMakalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
Dalam reaksi tersebut diperlukan koefisien yang setaraantara reaktan dan produk. Koefisien menandakanperbandingan jumlah molekul dalam suatu reaksi.Manusia perlu menebak koefisien sehingga terjadikeseimbangan komponen penyusun dan hasil. Sebenarnyareaksi kimia sendiri bisa merupakan reaksi menghasilkan(dengan tanda panah dari reaktan ke produk) atau reaksikesetimbangan (dengan tanda panah ke reaktan dan keproduk), namun keduanya tetap membutuhkan koefisienyang setara. Pada reaksi kimia berlaku hukum – hukumyang membuat reaksi tersebut dinyatakan valid, sebut sajaHukum Avogadro, Hukum Perbandingan Berganda,Hukum Kekekalan Massa dan lainnya.III. SEJARAH DAN TEMPAT SISTEM PERSAMAANLINEAR DAN MATRIKS DALAM REAKSIMenurut sejarahnya, penyetaraan reaksi kimia tidaklangsung dilakukan dengan notasi modern. Pada mulanya,reaksi kimia dituliskan dalam bentuk diagram. JeanBeguin dalam bukunya membuat persamaan kimia (yangdisebut – sebut adalah yang pertama) dalam bentukdiagram rekasi. Pada diagram ini terjadi reaksi antarahgcl2 dan sb2s3ketertarikan antar unsur, ia bisapenggabungan dari unsur – unsur itu.menentukanGambar 3. Diagram CullenSama halnya dengan diagram sebelumnya, hasil inimasih jauh dari penulisan reaksi modern sekarang ini.Pada saat itu pula memang ilmu pengetahuan belumcukup lengkap untuk menentukan penggabungan senyawasecara konkret.Joseph Black memberikan kemajuan dalam persamaankimia ini. Ia adalah murid dari Cullen yang memberikandiagram yang dimodifikasi sedemikian hingga mulaimuncul konsep molekul sebagai hasil penggabunganantara atom dan lainnya. Black mendapatkan ilmu dariCullen dan mengembangkannya. Ia mencobamelambangkan unsur tersebut dengan lambang,danlambang tersebut dimasukkan ke dalam lingkaranlingkaran. Setiap setengah lingkaran pada gambar tersebutmeerupakan atom. Contoh diagram adalah sebagai berikutGambar 2. Representasi BeguinDapat dilihat bahwa dalam diagram ini, masih kurangjelas antara reaktan dan produk. Pembaca perlu mengertimengenai persatuan aunsur dan hubungan antara atom –atom baru ia bisa membaca reaksi kimia yangberlangsung. Dapat dilihat pula bahwa tidak ada koefisienseperti notasi modern yang menandakan kesetaraan padasuatu reaksi. Zaman terus berkembang dan ilmupengetahuan tidak tertinggal berkembang. Bahkan,padaabad ke-19 tepatnya pada 1811, barulah ditemukanketentuan untuk menuliskan symbol kimia, yakni denganmenuliskan lambang elemen tersebut satu atau dua hurufoleh Jöns Berzelius. Berzelius juga menentukan teoripenting pada kombinasi yang terjadi di kimia yangmenyatakan bahwa reaksi terjadi saat sekelompok atumdalam grup yang stabil melakukan pertukaran antarmolekul[1]Menurut sumber [2] persamaan kimia pertama yangbenar dipublikasikan oleh Universities of Glasgow,William Cullen, dan kawan yang saat itu sedangmengembangkan cabang ilmu kimia afinitas. Afinitasadalah kecenderungan molekul untuk bergabung denganmolekul lainnya. Mereka memulai peletakkan tandapada sebuah reaksi. Tanda panah tersebut digunakanuntuk menunjukkan kekuatan afinitas dari elemen /senyawa reaktan, kemudian digunakan tanda kurungkurawal yang menandakan spesi mana yang bergabung.Cullen menentukan penggabungan senyawa dari suatutabel yang dibuat oleh Geoffroy. Dengan merujuk padaGambar 4. Diagram Joseph Black alkali folatil, asam apapun ,is CO2, alkali.Diagram ini menunjukkan bahwa pencampuran alkalidan asam lemah dengan asam kuat akan membuat alkaliitu menjadi asam.Representasi reaksi secara skematik dilakukan pada1756 pada Chemistry Course of Cullen and Black namuntidak dipublikasikan. Kemudian Bergman sebagai tokohmemberikan kemajuan lain. Bergman memberikanrepresentasi relatifitas afinitas dengan menggunakansimbol alkemi. Simbol tersebut digunakan untukmenentukan nilai dari afinitas dengan modifikasi padasymbol dan tambahan kurung. Penggambaran tersebutmenjadi seperti berikut:Gambar 3.1 Representasi BergmanMakalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
sehingga benar – benar berubah. Hal yang tetap samaadalah bahwa molekul reaktan harus sama denganmolekul produk. MisalGambar 5. Representasi BergmanRepresentasi di atas sebenarnya hendak menunjukkanreaksi yang terjadi yakni K2SO4 BaCl2 - BaSO4 2KClBila dilakukan perbandingan antara penulisan reaksitersebut (yang dianggap sudah modern) pada zamannyadengan sekarang, terlihat perbedaan kompleksitas. Padasaat itu belum tentu semua orang mengerti alkemi.Lavoisier dalam makalahnya memberikan represtansipersamaan kimia dengan lebih jelas yang untuk pertamakalinya melibatkandengan contoh sebagai berikutGambar 6. Representasi LavoisierPada persamaan di atas, dapat dilihat konsep menujuarah notasi modern. Dengan adanya lambang bagi unsurdan juga lambang untuk menandakan jumlah dari unsur.Dari perkembangan – perkembangan tersebut, akhirnyailmu pengetahuan menemukan jalan untuk menjadikapenulisan persamaan kimia lebih praktis namun tidakmenghilangkan ketepatannya. Dapat dilihat betapamatematika membantu khususnya konsep persamaanlinear dan matriks. Pencarian solusi lewat matematikamembuat manusia bisa mewujudkan kima teori denganlebih baik. Dapat dikatakan persamaan linear dan matriksmembantu membuat persamaan kimia menjadi lebih baik.IV. PENERAPAN DALAM PENYETARAAN REAKSIDalam kimia, dibutuhkan perataan koefisien dalampersamaan linier. Persamaan dikatakan setara bilaterdapat jumlah di kiri sama degan jumlah di kanan.Menurut hukum kekekalan massa, jumlah masa produkakan sama dengan jumlah massa hasil reaksi. Setiapmolekul sebelum dan sesudah reaksi harus memilikijumlah yang sama.Untuk melakukan penyetaraan tersebut, dapat dilakukanpenerapan sistem persamaan linier. Setiap molekul dalamsetiap senyawa yang menjadi reaktan pada suatu reaksiakan disamakan jumlahnya dengan setiap molekul dalamsetiap senyawa pada hasil reaksi. Penyamaan tersebutdilakukan dengan memberikan koefisien sebagai pengalibagi tiap senyawa. Angka dari koefisien tersebut diatursedemikian hingga tujuan penyetaraan reaksi tercapai.Secara umum dapat dicontohkan sebagai berikutdenganBentuk umum ini adalah bentuk reaksi yang umumterjadi. Meski demikian, tidak semua reaksi memilikibentuk demikian. Pada reaksi, bisa saja dihasilkan produkyang merupakan gabungan dari reaktan di sebelah kiriHubungan dan penggabungan unsur, penentuan hasil apayang terwujud antara suatu reaktan dengan reaktanlainnya dipelajari dalam an bagaimana kedua reaksi tersebut dapatsetara lewat koefisien. Hal utama yang perlu dilakukanadalah menebak koefisien tersebut. Penentuan nilaikoefisien tersebut dapat dilakukan dengan menebak ataumelalui penerapan persamaan linier seperti yang telahdisebutkan sebelumnya. Dapat dikatakan, sistempersamaan linier akan menghasilkan solusi bagi nilai –nilai yang dibutuhkan. Sebagaimana telah diungkit padabagian teori yang berkaitan, pemecahan solusi dari sebuahsistem persamaan linier dapat dilakukan dengan berbagaimetode yang salah satunya adalah pengubahan dalambentuk matriks.Pada matriks tersebut akan diperoleh solusi, entahsolusi unik atau solusi banyak. Pada solusi unik, maka adasuatu nilai pasti untuk setiap koefisien yang dibutuhkan.Pada solusi banyak, nilai dari koefisien saling bergantung,maka pengguna perlu memilih suatu nilai sehinggatercipta reaksi yang setara.Pembahasan mengenai penerapan sistem persamaanlinier dan matriks ini akan lebih dimengertiContoh:Bentuk ini dapat disesuaikan dengan bentuk umum yangtelah dibuat sebelumnya:Dapat kita pecah bagian – bagian dari senyawa menjadiA Al, B Br, C K, D S, E 0maka, harus didapat koefisien sehinggauntuk Aluminium (Al):untuk Barium (Br) :untuk Kalium (K) :untuk Sulfur (S) :untuk Oksigen (O) :Bila diubah ke dalam bentuk persamaan linear:Persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam bentukmatriks berikutMatriks ini dapat diubah sehingga menjadi matriks eselondengan langkah sebagai berikutMakalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
notasimodernsangat memudahkan, sehingga dapat dikatakan sistempersamaan lanjar memberikan peranan baik dalampenyetaraan reaksi kimia.R2 – 3R1R3 – 2R4VI. UCAPAN TERIMA KASIHR2 - R4R3*-1R4/4Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada TuhanYME, atas penyertaan-Nya makalah ini dapatterselesaikan. Terima kasih juga saya sampaikan kepadaPak Rinaldi Munir dan Pak Judhi sebagai dosen aljabargeometri yang telah memberikan ilmunya.REFERENSIR4-R3R5-R2Setelah terbentuk matriks eselon, dapat dilihat bahwamatriks memiliki solusi banyak. Dapat dibentukpersamaan sebagai berikutMisalkanMaka didapat solusi dari persamaan ini adalahSuatu persamaan yang memiliki solusi banyakmemungkinkan adanya beragam nilai yang memenuhipersamaan tersebut. Dalam hal ini, berarti ada banyaknilai yang bisa digunakan untuk membuat persamaankimia ini setara. Kita sudah mendapatkan hubungan antaramasing – masing nilai variabel, ternyata nilai – nilaitersebut bergantung pada suatu nilai yakni koefisien .Misalkan kita lakukan sulih. Dari sana didapatkanNilai – nilai tersebut dimasukkan ke dalam reaksi kimiayang terjadi menjadiDapat dilakukan pemastian dengan cara berikutuntuk Aluminium (Al):untuk Barium (Br) :untuk Kalium (K) :untuk Sulfur (S) :untuk Oksigen (O) :Karena didapati hasil yang setara antara molekulreaktan ( di sebelah kiri reaksi) dan molekul hasil (disebelah kanan reaksi) maka penyetaraan persamaandinyatakan s/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf , diakses 15 Desemberhttp://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR. PEND. MATEMATIKA/196005011985032ADE ROHAYATI/Hands Out Aljabar Matriks.pdf,diakses 15 /131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf, diakes 15 Berzelius.html, diakses 15 Desemberhttp://cheminor.unipa.it/storia chimica/doku.php?id la nomenclatura:le equazioni di reazione,diterjemahkandengan Google Translate, diakses 15 Desemberhttp://www.eoht.info/page/History of chemical equations, diakses 15 Desemberhttp://informatika.stei.itb.ac.id/ .htm , diakses 15 DesemberGambar1:http://informatika.stei.itb.ac.id/ .htm,presentasi“3kemungkinan solusi SPL”Gambar2:http://www.eoht.info/page/History of chemical equations, diakses 15 ria chimica/doku.php?id la nomenclatura:le equazioni di reazione,diterjemahkandengan Google Translate, diakses 15 DesemberPERNYATAANDengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang sayatulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atauterjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.Bandung, 15 Desember 2015V. KESIMPULANPenggunaan sistem persamaan lanjar dan matriks dalampenyetaraan reaksi kimia sangatlah berguna, yakni dalammenentukan koefisien pada senyawa reaktan dan produk.Penerapan ini perlu melewati proses yang panjang hinggaakhirnya diterapkan seperti sekarang ini. PenggunaanMakalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016Friska 13514042
atom baru ia bisa membaca reaksi kimia yang berlangsung. Dapat dilihat pula bahwa tidak ada koefisien seperti notasi modern yang menandakan kesetaraan pada suatu reaksi. Zaman terus berkembang dan ilmu pengetahuan tidak tertinggal berkembang. Bahkan,pada
